Геометрия
Треугольник

Площадь треугольника

Атанасян «Геометрия 7–9», § 52–53
Формулы площади
  • Через сторону и высоту к ней: S=12 a ha.S = \dfrac{1}{2}\,a\,h_a.
  • Через две стороны и угол между ними: S=12 ab sin⁡γ.S = \dfrac{1}{2}\,ab\,\sin\gamma.
  • Формула Герона (p=a+b+c2p = \dfrac{a+b+c}{2} — полупериметр): S=p(p−a)(p−b)(p−c).S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.
  • Для прямоугольного треугольника — половина произведения катетов: S=12 abS = \dfrac{1}{2}\,ab.
  • Медиана делит треугольник на два равновеликих (равных по площади).
Типичные ошибки
  • Берут высоту не к той стороне: в S=12ahaS = \tfrac12 a h_a высота проведена именно к стороне aa.
  • Забывают 12\tfrac{1}{2} и получают площадь параллелограмма вместо треугольника.
Теорема косинусов
  • Теорема косинусов: a2=b2+c2−2bccos⁡αa^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha, где α\alpha — угол между сторонами bb и cc.
  • Это обобщение теоремы Пифагора: при α=90∘\alpha = 90^\circ косинус равен нулю и остаётся a2=b2+c2a^2 = b^2 + c^2.
  • Ею находят третью сторону по двум сторонам и углу между ними — и наоборот, угол по трём сторонам: cos⁡α=b2+c2−a22bc\cos\alpha = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}.
  • Если косинус получился отрицательным, угол тупой — это готовый ответ на вопрос о виде треугольника.
Разобранные примеры
Основание треугольника равно 1010, высота к нему равна 66. Найди площадь.разбор
  1. S=12ah=12⋅10⋅6S = \tfrac{1}{2}ah = \tfrac{1}{2}\cdot 10 \cdot 6.
  2. S=30S = 30.
Ответ: 3030
Две стороны треугольника равны 88 и 1010, угол между ними 30∘30^\circ. Найди площадь.разбор
  1. S=12absin⁡C=12⋅8⋅10⋅sin⁡30∘S = \tfrac{1}{2}ab\sin C = \tfrac{1}{2}\cdot 8 \cdot 10 \cdot \sin 30^\circ.
  2. sin⁡30∘=0,5\sin 30^\circ = 0{,}5, поэтому S=40⋅0,5=20S = 40 \cdot 0{,}5 = 20.
Ответ: 2020
Подобие треугольниковПараллелограмм: всё из пар…