Геометрия
Четырёхугольники

Параллелограмм: всё из параллельных прямых и треугольников

Атанасян «Геометрия 7–9», § 42–44
Определение и свойства
ABCDдиагональ → два равных треугольника
  • Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
  • Диагональ делит параллелограмм на два РАВНЫХ треугольника — вся теория треугольников начинает работать внутри четырёхугольника.
  • Противоположные стороны равны; противоположные углы равны; соседние углы в сумме дают 180∘180^\circ (это односторонние углы при параллельных прямых!).
  • Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
  • Сумма углов любого четырёхугольника равна 360∘360^\circ — он разбивается диагональю на два треугольника по 180∘180^\circ.
Как решать
  • Знаешь один угол параллелограмма — знаешь все: противоположный такой же, соседние 180∘180^\circ минус он.
  • Площадь: S=a⋅haS = a \cdot h_a (сторона на высоту) или S=absin⁡αS = ab\sin\alpha.
  • Диагонали пополам — опорный факт для доказательств про середины отрезков.
Разобранные примеры
В параллелограмме один угол равен 110∘110^\circ. Найди остальные три.разбор
  1. Противоположные углы параллелограмма равны, значит ещё один тоже 110∘110^\circ.
  2. Соседние углы дают в сумме 180∘180^\circ: 180−110=70∘180 - 110 = 70^\circ.
  3. Итого: 110∘110^\circ, 70∘70^\circ, 110∘110^\circ, 70∘70^\circ.
Ответ: 110∘110^\circ, 70∘70^\circ, 70∘70^\circ
Периметр параллелограмма равен 3636, одна сторона больше другой на 44. Найди меньшую сторону.разбор
  1. Периметр складывается из двух пар равных сторон: 2(a+b)=362(a + b) = 36, значит a+b=18a + b = 18.
  2. Пусть меньшая aa, тогда b=a+4b = a + 4 и a+a+4=18a + a + 4 = 18.
  3. 2a=142a = 14, откуда a=7a = 7.
Ответ: 77
Площадь треугольникаПрямоугольник, ромб, квадрат