Четырёхугольники

Прямоугольник, ромб, квадрат

Атанасян «Геометрия 7–9», § 45–46

Частные случаи параллелограмма

Прямоугольник — параллелограмм с прямыми углами. Дополнительное свойство: диагонали РАВНЫ. Площадь $S = ab$ .
Ромб — параллелограмм с равными сторонами. Диагонали перпендикулярны и делят углы пополам. Площадь: $S = \dfrac{1}{2}\,d_1 d_2.$
Квадрат — и прямоугольник, и ромб сразу: все свойства обоих. $S = a^2$ .
Все свойства параллелограмма (стороны, углы, диагонали пополам) сохраняются у всех троих.
Высота ромба — перпендикуляр, опущенный из вершины на противоположную сторону (или её продолжение). Все стороны ромба равны, поэтому высота, сторона и отрезки, на которые основание высоты делит сторону, связаны теоремой Пифагора.

Типичные ошибки

Формулу $S = \tfrac12 d_1 d_2$ применяют к параллелограмму или прямоугольнику — она только для ромба и квадрата (и любого четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями).
Думают, что диагонали ромба равны: равны они у прямоугольника; у ромба — перпендикулярны.
В №19 ловят на «у любого параллелограмма диагонали равны» — это неверно.

Правильный шестиугольник

У правильного шестиугольника сторона равна радиусу описанной окружности: $a = R$ .
Радиус вписанной окружности: $r = \dfrac{a\sqrt3}{2}$ , каждый угол равен $120^\circ$ .
Площадь: $S = \dfrac{3a^2\sqrt3}{2}$ — это шесть равносторонних треугольников со стороной $a$ .

Разобранные примеры

Диагонали ромба равны

6

8

. Найди его площадь и сторону.разбор

Площадь ромба через диагонали: $S = \tfrac{1}{2} d_1 d_2 = \tfrac{1}{2}\cdot 6 \cdot 8 = 24$ .
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся пополам: половинки $3$ и $4$ .
Сторона — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $3$ и $4$ : $\sqrt{9+16} = 5$ .

Ответ:

S = 24

, сторона

5

Диагональ прямоугольника равна

10

, одна сторона равна

6

. Найди площадь.разбор

Ответ:

48