Алгебра
Натуральные числа

Делимость. Простые числа, НОД и НОК

Никольский «Математика 5»; «Алгебра 7», § 1.3–1.4
Что нужно знать
  • Признаки делимости: на 2 — последняя цифра чётная; на 5 — оканчивается на 0 или 5; на 3 и 9 — сумма цифр делится на 3 (на 9); на 10 — оканчивается на 0.
  • Простое число имеет ровно два делителя: 1 и себя. Составное — больше двух. Единица не простое и не составное.
  • Любое составное число единственным образом раскладывается на простые множители: 84=22⋅3⋅784 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7.
  • НОД — наибольший общий делитель; на него сокращают дроби. НОК — наименьшее общее кратное; к нему приводят знаменатели.
Как решать
  • Разложи числа на простые множители — из разложения видно и НОД (общие множители), и НОК (все множители).
  • Проверку делимости начинай с самых простых признаков: 2, 5, 3.
Разобранные примеры
Найдите НОД и НОК чисел 2424 и 3636.разбор
  1. Раскладываем: 24=23⋅324=2^3\cdot3, 36=22⋅3236=2^2\cdot3^2.
  2. НОД — общие множители в наименьших степенях: 22⋅3=122^2\cdot3=12.
  3. НОК — все множители в наибольших степенях: 23⋅32=722^3\cdot3^2=72.
Ответ: НОД =12=12, НОК =72=72
Автобусы одного маршрута отходят каждые 1212 минут, другого — каждые 1818. Через сколько минут они снова отойдут одновременно?разбор
  1. Нужен наименьший общий кратный: 12=22⋅312=2^2\cdot3, 18=2⋅3218=2\cdot3^2.
  2. НОК =22⋅32=36=2^2\cdot3^2=36 минут.
Ответ: 3636 мин
Натуральные числа и действ…Что такое дробь