Корни

Квадратный корень и его свойства

Никольский «Алгебра 8», § 3

Определение и свойства

Арифметический квадратный корень из $a$ — НЕотрицательное число, квадрат которого равен $a$ : $\sqrt{a} \ge 0$ , $(\sqrt{a})^2 = a$ при $a \ge 0$ .
Корень из отрицательного числа не существует (в действительных числах).
$\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ и $\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ при $a, b \ge 0$ .
Ключевой факт: $\sqrt{a^2} = |a|.$
Вынесение из-под корня: $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$ ; внесение — в обратную сторону: $3\sqrt{2} = \sqrt{18}$ .

Типичные ошибки

$\sqrt{a+b} \ne \sqrt{a} + \sqrt{b}$ : $\sqrt{9+16} = 5$ , а $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7$ .
$\sqrt{(-3)^2} = 3$ , а не $-3$ — работает модуль.
Сравнивая $2\sqrt{3}$ и $3\sqrt{2}$ , внеси под корень: $\sqrt{12}$ и $\sqrt{18}$ .

Разобранные примеры

Найдите значение выражения

\sqrt{18}\cdot\sqrt{2}

.разбор

Ответ:

6

Найдите значение выражения

\sqrt{(-5)^2}

.разбор

Сначала возводим в квадрат: $(-5)^2=25$ .
$\sqrt{25}=5$ . Корень из квадрата равен модулю: $\sqrt{a^2}=|a|$ , поэтому ответ положителен.

Ответ:

5