Функции и графики

Сдвиги и растяжения графиков. Кусочные функции

Никольский «Алгебра 8», § 7.3; прототипы №11 «Растяжения и сдвиги», №22 «Кусочно-непрерывные»

Преобразования графика

$y = f(x) + b$ — сдвиг графика ВВЕРХ на $b$ (вниз при $b<0$ ).
$y = f(x - a)$ — сдвиг ВПРАВО на $a$ : знак внутри скобки работает «наоборот».
$y = k\,f(x)$ — растяжение от оси $x$ в $k$ раз ( $0<k<1$ — сжатие).
$y = -f(x)$ — отражение относительно оси $x$ .
Парабола $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ — это $y = ax^2$ , сдвинутая вершиной в точку $(x_0;\,y_0)$ .

Кусочные функции (№22)

Кусочная функция задана разными формулами на разных промежутках — строй каждый кусок только на СВОЁМ промежутке.
На границах промежутков отмечай точки: закрашенная — значение входит, выколотая — нет.
Типовой вопрос №22: при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно 1, 2 или 3 общие точки — двигай горизонтальную линейку по графику и считай пересечения.

Типичные ошибки

$f(x-3)$ сдвигают влево — а это сдвиг вправо.
Куски рисуют на всей оси, а не на своих промежутках.
Теряют случаи касания прямой $y=m$ вершины параболы — это смена числа пересечений.

Разобранные примеры

Как из графика

y=x^2

получить график

y=(x-3)^2+2

?разбор

$(x-3)$ внутри — сдвиг вдоль оси $Ox$ ВПРАВО на $3$ (знак противоположен тому, что кажется).
$+2$ снаружи — сдвиг вверх на $2$ .
Вершина переезжает из $(0;0)$ в $(3;\,2)$ .

Ответ: вправо на

3

и вверх на

2

Найдите

y(-2)

y(3)

для функции

y=\begin{cases}x^2,& x<0\\ 2x,& x\ge0\end{cases}

разбор

Ответ:

y(-2)=4

y(3)=6