Параллельные прямые

Секущая: накрест лежащие, соответственные, односторонние

Атанасян «Геометрия 7–9», § 24–25

Углы при секущей

Параллельные прямые — прямые в одной плоскости, которые не пересекаются. Обозначение: $a \parallel b$ .
Секущая — прямая, пересекающая две данные прямые. При этом образуется 8 углов.
Накрест лежащие углы лежат между прямыми по разные стороны от секущей (на чертеже: 3 и 5, 4 и 6).
Соответственные углы лежат в одинаковых позициях (1 и 5, 2 и 6, 3 и 7, 4 и 8).
Односторонние углы лежат между прямыми по одну сторону от секущей (4 и 5, 3 и 6).

Свойства при параллельных прямых

Если прямые параллельны, то накрест лежащие углы равны.
Если прямые параллельны, то соответственные углы равны.
Если прямые параллельны, то сумма односторонних углов равна $180^\circ$ .
Эти же утверждения работают «в обратную сторону» — как признаки параллельности прямых.

Как решать

Найди секущую и определи тип пары углов — накрест лежащие, соответственные или односторонние.
Помни: равные пары — накрест лежащие и соответственные; в сумме $180^\circ$ — односторонние.
Пример: $a \parallel b$ , один из односторонних углов $65^\circ$ — второй равен $180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$ .

Теорема Фалеса

Теорема Фалеса: если параллельные прямые отсекают на одной секущей равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на любой другой секущей.
Обобщённая теорема (о пропорциональных отрезках): параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки — $\dfrac{OA_1}{A_1A_2} = \dfrac{OB_1}{B_1B_2}$ .
Работает и обратно: если отрезки пропорциональны, прямые параллельны. Так доказывают параллельность, когда углы посчитать нечем.

Разобранные примеры

Две параллельные прямые пересечены секущей. Один из накрест лежащих углов равен

65^\circ

. Найди второй.разбор

Ответ:

65^\circ

Односторонние углы при параллельных прямых относятся как

2:3

. Найди больший.разбор

Ответ:

108^\circ