Треугольник

Треугольник и его элементы

Атанасян «Геометрия 7–9», § 14, 16–17, 30

Определение и главные факты

Треугольник — фигура из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх соединяющих их отрезков.
Неравенство треугольника: каждая сторона меньше суммы двух других. Иначе треугольник не существует.
Сумма углов треугольника равна $180^\circ$ .
Внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.
Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.

Медиана, биссектриса, высота

Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны. Три медианы пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении $2:1$ , считая от вершины.
Биссектриса делит угол пополам; биссектрисы пересекаются в центре вписанной окружности.
Высота — перпендикуляр из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону; высоты пересекаются в одной точке.
Средняя линия соединяет середины двух сторон: она параллельна третьей стороне и равна её половине: $m = \dfrac{a}{2}$ .

Типичные ошибки

Путают медиану и высоту: медиана — к СЕРЕДИНЕ стороны, высота — ПОД ПРЯМЫМ УГЛОМ к стороне.
Проверяя существование треугольника, сравнивают не все три пары: нужно $a+b>c$ для КАЖДОЙ стороны.
Среднюю линию треугольника (половина стороны) путают со средней линией трапеции (полусумма оснований).

Разобранные примеры

Стороны треугольника равны

6

8

10

. Является ли он прямоугольным?разбор

Ответ: да, прямоугольный

Два угла треугольника равны

53^\circ

79^\circ

. Найдите третий.разбор

Ответ:

48^\circ