Геометрия
Окружность

Центральный и вписанный углы

Атанасян «Геометрия 7–9», § 70–71
Главная теорема окружности
O2αα
  • Центральный угол — угол с вершиной в центре; он равен дуге, на которую опирается.
  • Вписанный угол — вершина на окружности, стороны — хорды. Вписанный угол равен ПОЛОВИНЕ дуги: ∠впис=12 ∠центр.\angle_{\text{впис}} = \dfrac{1}{2}\,\angle_{\text{центр}}.
  • Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
  • Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой.
  • Угол между касательной и хордой равен половине заключённой дуги.
Как решать
  • Отметь дугу, на которую опирается угол, — от неё считается всё.
  • Видишь диаметр — ищи прямой вписанный угол, это ключ половины задач №16.
  • Пример: центральный угол дуги равен 80∘80^\circ — вписанный угол на эту дугу равен 40∘40^\circ.
Разобранные примеры
Вписанный угол опирается на дугу в 80∘80^\circ. Найди этот угол.разбор
  1. Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.
  2. 80:2=40∘80 : 2 = 40^\circ.
Ответ: 40∘40^\circ
Центральный угол на 30∘30^\circ больше вписанного, опирающегося на ту же дугу. Найди вписанный угол.разбор
  1. Центральный вдвое больше вписанного: если вписанный xx, то центральный 2x2x.
  2. 2x−x=302x - x = 30, значит x=30∘x = 30^\circ.
  3. Проверка: центральный 60∘60^\circ, он и правда на 30∘30^\circ больше.
Ответ: 30∘30^\circ
Окружность: радиус, диамет…Вписанная и описанная окру…