Окружность

Вписанная и описанная окружности

Атанасян «Геометрия 7–9», § 74–75

Окружность и многоугольник

Вписанная окружность касается всех сторон многоугольника; её центр — точка пересечения биссектрис.
Описанная окружность проходит через все вершины; её центр — точка пересечения серединных перпендикуляров.
Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, — середина гипотенузы; $R = \dfrac{c}{2}$ .
Четырёхугольник можно вписать в окружность, если суммы противоположных углов равны $180^\circ$ .
В четырёхугольник можно вписать окружность, если суммы противоположных сторон равны: $a + c = b + d$ .
Радиус вписанной окружности через площадь: $r = \dfrac{S}{p}$ , где $p$ — полупериметр.

Типичные ошибки

Путают центры: вписанная — биссектрисы, описанная — серединные перпендикуляры.
Забывают частный случай прямоугольного треугольника: гипотенуза = диаметр описанной окружности.

Разобранные примеры

Треугольник вписан в окружность так, что одна из его сторон — диаметр. Найди угол, лежащий против неё.разбор

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, опирается на дугу в $180^\circ$ .
Половина от $180^\circ$ — это $90^\circ$ . Такой треугольник всегда прямоугольный.

Ответ:

90^\circ

В прямоугольный треугольник с катетами

6

8

вписана окружность. Найди её радиус.разбор

Гипотенуза: $\sqrt{36+64} = 10$ .
Для прямоугольного треугольника $r = \dfrac{a + b - c}{2} = \dfrac{6 + 8 - 10}{2}$ .
$r = 2$ .

Ответ:

2