Геометрия на экзамене

Часть 2: как решать №23–25

Прототипы ФИПИ части 2; Атанасян «Геометрия 7–9»

Что проверяют

№23 — вычислительная задача (углы, четырёхугольники, окружности): 2–3 шага через подобие, Пифагора, вписанные углы.
№24 — задача на ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: обычно равенство или подобие треугольников, свойства параллелограмма/окружности.
№25 — сложная задача: комбинация окружностей и многоугольников, дополнительные построения.
Оформление части 2: каждый шаг — со ссылкой на теорему («углы при основании равнобедренного треугольника равны»).

Рабочие приёмы

Большой чертёж и отметки равных элементов засечками — половина решения.
Ищи пары подобных или равных треугольников — почти каждая задача №23–25 строится на них.
Вписанные углы на одну дугу, угол на диаметр, касательная⊥радиусу — стандартные ключи №25.
Не выходит напрямую — проведи дополнительное построение: высоту, диаметр, радиус в точку касания, продли отрезок.

Разобранные примеры

№23. В треугольнике

ABC

проведена биссектриса

AL

. Известно, что

AB = 12

AC = 18

BC = 20

. Найди

BL

.разбор

Что известно и что ищем: биссектриса из вершины $A$ делит противоположную сторону $BC$ на отрезки $BL$ и $LC$ , их сумма равна $20$ .
Свойство биссектрисы: она делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон, то есть $\dfrac{BL}{LC} = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{12}{18} = \dfrac{2}{3}$ .
Обозначаем: пусть $BL = 2x$ , тогда $LC = 3x$ . Это законный ход — отношение задаёт стороны с точностью до множителя.
Составляем уравнение по сумме: $2x + 3x = 20$ , значит $5x = 20$ и $x = 4$ .
Возвращаемся к вопросу: $BL = 2x = 8$ . Проверка: $LC = 12$ , сумма $8 + 12 = 20$ — сходится.

Ответ:

BL = 8

№24 (доказательство). Дан параллелограмм

ABCD

. Докажи, что его диагонали точкой пересечения делятся пополам.разбор

Так выглядит полное доказательство. Обрати внимание на структуру: сначала что дано, потом каждый шаг с названием теоремы, в конце вывод. Балл ставят именно за это, а не за верную догадку.
Дано: $ABCD$ — параллелограмм, $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ . Доказать: $AO = OC$ и $BO = OD$ .
Рассмотрим треугольники $AOB$ и $COD$ .
$AB = CD$ как противоположные стороны параллелограмма.
$\angle OAB = \angle OCD$ — накрест лежащие при параллельных $AB \parallel CD$ и секущей $AC$ .
$\angle OBA = \angle ODC$ — накрест лежащие при тех же параллельных и секущей $BD$ .
Значит $\triangle AOB = \triangle COD$ по второму признаку: сторона и два прилежащих к ней угла.
В равных треугольниках соответственные стороны равны, поэтому $AO = OC$ и $BO = OD$ .
Что и требовалось доказать.

Ответ: Диагонали делятся точкой пересечения пополам

Как оформить, чтобы не потерять баллразбор

Пиши «Дано» и «Доказать» отдельными строками — проверяющий должен видеть, что ты понял условие.
Каждое равенство сопровождай основанием: не просто « $AB = CD$ », а « $AB = CD$ как противоположные стороны параллелограмма».
Называй признак целиком: «по второму признаку равенства треугольников», а не «по признаку».
Все введённые обозначения объявляй: «пусть $O$ — точка пересечения диагоналей». Необъявленная буква — минус балл.
В вычислительной задаче доводи до числа и пиши «Ответ:». Решение без ответа полный балл не получает.
Не пропускай «очевидное»: переход, очевидный тебе, для проверяющего пропущенное звено.

Ответ: Обоснование каждого шага — половина оценки