Правильные многоугольники

Доказательство. Пусть $A_1A_2\ldots A_n$ — правильный многоугольник, $O$ — точка пересечения биссектрис углов $A_1$ и $A_2$. Докажем, что $OA_1 = OA_2 = \ldots = OA_n$.

$\angle A_1 = \angle A_2$, их половины равны: $\angle 1 = \angle 3$. Значит, $\triangle A_1A_2O$ равнобедренный и $OA_1 = OA_2$.

$\triangle A_1A_2O = \triangle A_3A_2O$ по двум сторонам и углу между ними: $A_1A_2 = A_3A_2$, $A_2O$ — общая, $\angle 3 = \angle 4$. Отсюда $OA_3 = OA_1$. Так же $OA_4 = OA_2$, $OA_5 = OA_3$ и т. д.

Точка $O$ равноудалена от всех вершин — окружность с центром $O$ и радиусом $OA_1$ описана около многоугольника.

Единственность. Через три вершины, например $A_1$, $A_2$, $A_3$, проходит только одна окружность.

Доказательство. $O$ — центр описанной окружности. Из предыдущей теоремы $\triangle OA_1A_2 = \triangle OA_2A_3 = \ldots = \triangle OA_nA_1$, поэтому равны и их высоты из $O$: $OH_1 = OH_2 = \ldots = OH_n$.

Окружность с центром $O$ радиуса $OH_1$ проходит через $H_1, H_2, \ldots, H_n$ и касается сторон в этих точках (радиус перпендикулярен стороне) — она вписана.

Единственность. Центр любой вписанной окружности равноудалён от сторон, то есть лежит на каждой биссектрисе углов многоугольника и совпадает с $O$; радиус равен расстоянию от $O$ до сторон, то есть $OH_1$.

Следствие 1. Вписанная окружность касается сторон в их серединах ($OH_1$ — высота равнобедренного треугольника, она же медиана).

Следствие 2. Центры описанной и вписанной окружностей совпадают — это центр правильного многоугольника.

$S = \dfrac12 Pr$. Соединим центр с вершинами: многоугольник разобьётся на $n$ равных треугольников с основанием $a_n$ и высотой $r$. $S = n \cdot \dfrac12 a_n r = \dfrac12 (n a_n) r = \dfrac12 Pr$. Так же считается площадь любого многоугольника, описанного около окружности.

Сторона и $r$ через $R$. В прямоугольном $\triangle A_1H_1O$: $\angle A_1 = \dfrac{\alpha_n}{2} = \dfrac{n - 2}{2n} \cdot 180^\circ = 90^\circ - \dfrac{180^\circ}{n}$.

$a_n = 2A_1H_1 = 2R\cos\left(90^\circ - \dfrac{180^\circ}{n}\right) = 2R\sin\dfrac{180^\circ}{n}$, $\quad r = OH_1 = R\sin\left(90^\circ - \dfrac{180^\circ}{n}\right) = R\cos\dfrac{180^\circ}{n}$.

Короче: центральный угол $A_1OA_2$ равен $\dfrac{360^\circ}{n}$, его половина $\angle A_1OH_1 = \dfrac{180^\circ}{n}$.

• Задача 1. Построить правильный шестиугольник со стороной $PQ$. По формуле $a_6 = R$: строим окружность радиуса $PQ$, от точки $A_1$ тем же раствором циркуля откладываем $A_1A_2 = A_2A_3 = \ldots = A_5A_6$ и соединяем точки.
• Задача 2. Дан правильный $n$-угольник; построить правильный $2n$-угольник. Описываем окружность (центр — пересечение биссектрис двух углов), делим каждую дугу $A_1A_2, A_2A_3, \ldots$ пополам серединными перпендикулярами к сторонам и соединяем точки деления $B_1, B_2, \ldots$ с концами дуг.
• Из квадрата так получаются правильные $8$-, $16$-, …, $2^k$-угольники; из шестиугольника — $12$-, $24$-угольники.
• Не все правильные многоугольники строятся циркулем и линейкой: семиугольник — нельзя, а семнадцатиугольник — можно.

1. Около правильного многоугольника можно описать окружность; каждая сторона стягивает дугу $\dfrac{360^\circ}{8} = 45^\circ$.
2. Угол $ADF$ вписанный и опирается на дугу $AF$, не содержащую $D$: она состоит из дуг $AH$, $HG$, $GF$, то есть $3 \cdot 45^\circ = 135^\circ$ (центральный угол $AOF$).
3. Вписанный угол равен половине дуги: $\angle ADF = \dfrac{135^\circ}{2} = 67{,}5^\circ$.