Длина окружности и площадь круга

Окружность из тонкой нерастяжимой нити разрежем и распрямим — длина отрезка и есть длина окружности.

Периметр правильного вписанного многоугольника приближает длину окружности, и тем точнее, чем больше сторон. Длина окружности — предел, к которому стремится периметр правильного вписанного многоугольника при неограниченном увеличении числа сторон.

Вывод. Для окружностей радиусов $R$ и $R'$: $P_n = n \cdot 2R\sin\dfrac{180^\circ}{n}$, $P_n' = n \cdot 2R'\sin\dfrac{180^\circ}{n}$, поэтому $\dfrac{P_n}{P_n'} = \dfrac{2R}{2R'}$ при любом $n$.

При $n \to \infty$ $P_n \to C$, $P_n' \to C'$, значит $\dfrac{C}{C'} = \dfrac{2R}{2R'}$, то есть $\dfrac{C}{2R} = \dfrac{C'}{2R'}$: отношение длины окружности к диаметру одно и то же для всех окружностей. Это число обозначают $\pi$.

• $\pi$ — иррациональное число (бесконечная непериодическая дробь). Архимед в III в. до н. э. нашёл приближение $\dfrac{22}{7}$ с точностью до $0{,}002$. В задачах обычно $\pi \approx 3{,}14$.
• Длина дуги. Вся окружность $2\pi R$ — это $360^\circ$, дуга в $1^\circ$ имеет длину $\dfrac{2\pi R}{360} = \dfrac{\pi R}{180}$, дуга в $\alpha$ градусов — в $\alpha$ раз больше.
• Иначе: дуга составляет от окружности такую же долю, какую $\alpha$ составляет от $360^\circ$: $\dfrac{l}{2\pi R} = \dfrac{\alpha}{360^\circ}$.
• Длина окружности пропорциональна радиусу: радиус в $k$ раз больше — длина в $k$ раз больше (№ 1102).

Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью: центр $O$ и все точки на расстоянии не больше $R$ от него.

Впишем в окружность правильный $n$-угольник (площадь $S_n$), а в него — окружность радиуса $r_n$ (круг площади $S_n'$). Многоугольник лежит внутри круга, малый круг — внутри многоугольника: $S_n' < S_n < S$.

$r_n = R\cos\dfrac{180^\circ}{n} \to R$ при $n \to \infty$: малый круг «стремится» к данному, $S_n' \to S$, а значит, и $S_n \to S$.

$S_n = \dfrac12 P_n r_n$, причём $P_n \to 2\pi R$, $r_n \to R$. Получаем $S = \dfrac12 \cdot 2\pi R \cdot R = \pi R^2$.

Задача о квадратуре круга — построить циркулем и линейкой квадрат той же площади — неразрешима; это доказано в конце XIX века.

• Ищем центр и точку окружности в узлах сетки. Если они на одной линии сетки — радиус считается клетками.
• Иначе радиус — гипотенуза: $R^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2$. На рисунке $R^2 = 1^2 + 2^2 = 5$, и $S = 5\pi$.
• Часто ответ просят записать как $\dfrac{S}{\pi}$ — тогда ответ равен $R^2$, корень извлекать не нужно.
• Долю сектора определяем по углу: $90^\circ$ — четверть круга, $45^\circ$ — восьмая часть (диагональ клетки), $135^\circ$ — три восьмых.

1. Радиус большего круга $O_1A_1 = 3$ клетки.
2. Радиус меньшего $OA$ — гипотенуза треугольника $OBA$ с катетами $2$ и $1$: $OA^2 = 5$.
3. Площади относятся как квадраты радиусов: $\dfrac{\pi \cdot 9}{\pi \cdot 5} = 1{,}8$.