Свойства и признаки делимости

Натуральное число $a$ делится (нацело) на натуральное $b$, если существует натуральное $c$, при умножении которого на $b$ получается $a$.

Если $a$ делится на $b$, говорят ещё, что $a$ кратно $b$. Число $48$ кратно $24$: $48 = 2 \cdot 24$.

Числа, кратные $5$, — это $5 \cdot 1, 5 \cdot 2, 5 \cdot 3, \ldots$, то есть $5, 10, 15, 20, \ldots$ — все числа вида $5k$, где $k$ — натуральное.

• Свойство 1. Если один из множителей делится на число, то и произведение делится на это число. $15$ делится на $3$, значит, $15 \cdot 11 = 3 \cdot (5 \cdot 11)$ делится на $3$.
• Свойство 2. Если первое число делится на второе, а второе — на третье, то первое делится на третье. $777 = 7 \cdot 111$, $\ 111 = 3 \cdot 37$, значит, $777 = 3 \cdot (37 \cdot 7)$ делится на $3$.
• Свойство 3. Если каждое из двух чисел делится на некоторое число, то их сумма и разность делятся на это число: $136 = 100 + 36 = 25 \cdot 4 + 9 \cdot 4 = 34 \cdot 4$.
• Свойство 4. Если одно из двух чисел делится на некоторое число, а другое не делится, то их сумма и разность не делятся на это число: $148 = 4 \cdot 37$ делится на $37$, $11$ — нет, поэтому $148 + 11$ и $148 - 11$ на $37$ не делятся.

Почему: $4560 = 456 \cdot 10$ делится на $10$ (свойство 1). $4561 = 4560 + 1$ не делится на $10$ (свойство 4).

$2305 = 2300 + 5$: оба слагаемых делятся на $5$, значит, и сумма (свойство 3). $52 = 50 + 2$ на $5$ не делится.

$136 = 130 + 6$ делится на $2$; $137 = 130 + 7$ — нет. Ведь всякое число — это «десятки» (делятся на $10$, а значит, на $2$ и на $5$) плюс последняя цифра.

Число, делящееся на $2$, называют чётным; не делящееся на $2$ — нечётным. $152$ и $790$ — чётные, $111$ и $293$ — нечётные.

Чётное число можно записать в виде $2k$, нечётное — в виде $2k + 1$ (при делении на $2$ остаток $1$).

Сумма двух чётных чисел чётна: $2k + 2m = 2(k + m)$. Сумма двух нечётных тоже чётна: $(2k + 1) + (2m + 1) = 2(k + m + 1)$. Чётное плюс нечётное — нечётно.

Произведение чётного числа на любое натуральное — чётное (свойство 1).

$7245$: сумма цифр $7 + 2 + 4 + 5 = 18$ делится на $9$. Почему делится само число:

$7245 = 7 \cdot (999 + 1) + 2 \cdot (99 + 1) + 4 \cdot (9 + 1) + 5 = (7 \cdot 999 + 2 \cdot 99 + 4 \cdot 9) + (7 + 2 + 4 + 5)$.

Первая скобка делится на $9$ (и на $3$), так как $9, 99, 999$ делятся на $9$. Вторая скобка — сумма цифр. По свойствам 3 и 4 всё решает сумма цифр.

$375$: сумма цифр $15$ делится на $3$, но не на $9$ — число делится на $3$, но не на $9$.

1. По признаку делимости на $9$ сумма цифр $2 + 5 + A + 6 = 13 + A$ должна делиться на $9$.
2. $A$ — цифра от $0$ до $9$, значит, $13 + A$ от $13$ до $22$. Кратно $9$ в этом промежутке только $18$.
3. $13 + A = 18$, $\ A = 5$. Проверка: $2556 = 9 \cdot 284$ ✓.

1. Сумма цифр $4 + 1 + B + 5 = 10 + B$ должна делиться на $3$.
2. $10 + B$ может быть $12$, $15$ или $18$: $\ B = 2$, $5$ или $8$.
3. Подходит любая из трёх цифр, например $2$: $4125 = 3 \cdot 1375$.

1. а) Все три слагаемых чётные (оканчиваются на $8$, $6$, $8$) — их сумма чётна. А $18\,911$ оканчивается на $1$ — нечётно. Ошибка.
2. б) Два слагаемых чётные, $6565$ — нечётное. Чётное $+$ нечётное — нечётно, а $24\,642$ — чётное. Ошибка.
3. Верные суммы: $18\,912$ и $24\,643$.

1. Кратные $5$ оканчиваются на $0$ или $5$; кратные $10$ — на $0$. Значит, нужное число оканчивается на $5$.
2. Наибольшее число меньше $301$, оканчивающееся на $5$, — $295$.

1. а) В записи $15$ единиц, сумма цифр $15$: делится на $3$, но не на $9$.
2. б) $7 + 3 + 8 = 18$ уже делится на $9$, поэтому $18 + {*}$ делится на $9$ при ${*} = 0$ или ${*} = 9$: $7380$ и $7389$.

Если две последние цифры числа образуют число, делящееся на $4$, то и само число делится на $4$.

Почему: $7928 = 7900 + 28 = 79 \cdot 100 + 28$. Число $100$ делится на $4$, значит, $79 \cdot 100$ делится на $4$ (свойство 1); остаётся проверить $28 = 4 \cdot 7$.

$1996$: $96 = 4 \cdot 24$ — делится; $1795$: $95$ на $4$ не делится — и само число не делится. По этому признаку определяют високосные годы: $2004, 2008, 2012, 2016, \ldots$

• Сумма и разность чисел, делящихся на $m$, делятся на $m$; если делится только одно — не делятся.
• На $10$ — последняя цифра $0$; на $5$ — $0$ или $5$; на $2$ — чётная последняя цифра.
• На $9$ и на $3$ — по сумме цифр; на $4$ — по двум последним цифрам.
• Чётное $\pm$ чётное и нечётное $\pm$ нечётное — чётны; чётное $\pm$ нечётное — нечётно.