НОД и НОК

Делители $12$: $1, 2, 3, 4, 6, 12$. Делители $54$: $1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54$. Общие делители — $1, 2, 3, 6$.

Наибольший из них, $6$, — наибольший общий делитель чисел $12$ и $54$. Обозначение: $\text{НОД}(12, 54) = 6$.

Для больших чисел все делители выписывать долго — помогает разложение на простые множители.

$56 = 2^3 \cdot 7$, $\ 45 = 3^2 \cdot 5$ — общих простых делителей нет, $\text{НОД}(56, 45) = 1$.

Числа, не имеющие общих простых делителей, называют взаимно простыми. Их НОД равен $1$.

Взаимно простые: два различных простых числа ($17$ и $23$); два соседних натуральных числа ($24$ и $25$).

Если одно из чисел делится на другое, НОД равен меньшему: $\text{НОД}(12, 4) = 4$.

1. $36 = 2^2 \cdot 3^2$, $\ 60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$.
2. Общие множители в наименьших степенях: $2^2$ и $3$.
3. $\text{НОД}(36, 60) = 4 \cdot 3 = 12$.

Числу $12$ кратны $12, 24, 36, 48, 60, 72, \ldots$; числу $18$ — $18, 36, 54, 72, \ldots$ Числа $36, 72, 108, \ldots$ — общие кратные $12$ и $18$.

Наименьшим общим кратным натуральных чисел $a$ и $b$ называют наименьшее натуральное число, делящееся нацело на каждое из них. Обозначение: $\text{НОК}(a, b)$.

1-й способ. Выписываем кратные большего числа и проверяем делимость на меньшее: $\text{НОК}(24, 18)$: $24$ — нет, $48$ — нет, $72$ — да. $\text{НОК} = 72$.

2-й способ. НОК должно делиться и на $24$, и на $18$. Берём все простые множители большего числа ($2, 2, 2, 3$) и дописываем множители меньшего, которых не хватает (ещё одна $3$).

Взаимно простые числа общих множителей не имеют — их НОК равно произведению: $\text{НОК}(24, 25) = 600$.

Если одно число делится на другое, НОК равно большему: $\text{НОК}(120, 24) = 120$.

1. $10$ делится на $2$, поэтому число, кратное $10$, уже кратно $2$: достаточно $\text{НОК}(7, 10)$.
2. $7$ и $10$ взаимно простые: $\text{НОК}(7, 10) = 70$.

1. Число детей в команде должно делить и $36$, и $24$ — это общий делитель; нужен наибольший.
2. $36 = 2^2 \cdot 3^2$, $\ 24 = 2^3 \cdot 3$: $\ \text{НОД}(36, 24) = 2^2 \cdot 3 = 12$.
3. Команд: $36 : 12 + 24 : 12 = 3 + 2 = 5$.

1. Метки снова встретятся, когда каждая шестерёнка «прокрутит» одно и то же число зубцов, кратное и $16$, и $28$. Нужно наименьшее — НОК.
2. $16 = 2^4$, $\ 28 = 2^2 \cdot 7$: $\ \text{НОК} = 2^4 \cdot 7 = 112$ зубцов.
3. Первая сделает $112 : 16 = 7$ оборотов, вторая — $112 : 28 = 4$ оборота.

1. НОД — делитель каждого из чисел, поэтому он не может быть больше меньшего из них. $66 > 33$ — ошибка.
2. $198 = 33 \cdot 6$ — делится на $33$, значит, $\text{НОД}(33, 198) = 33$ (меньшее из чисел).

• НОД — произведение общих простых множителей в наименьших степенях.
• НОК — множители большего числа плюс недостающие множители меньшего (наибольшие степени).
• Взаимно простые: $\text{НОД} = 1$, $\text{НОК} = a \cdot b$. Если $a$ делится на $b$: $\text{НОД} = b$, $\text{НОК} = a$.
• «Разделить поровну на наибольшее число частей» — НОД; «совпадут в первый раз» — НОК.