Простые и составные числа. Делители

Каждое натуральное число $p$ делится на $1$ и само на себя.

Простым числом называют натуральное число, которое больше единицы и делится только на $1$ и само на себя.

Первые десять простых чисел: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29$.

Простых чисел бесконечно много: первое есть — $2$, последнего нет. Таблица простых чисел до $997$ — на форзаце учебника.

Непростые натуральные числа, большие единицы, называют составными. Составное число делится на $1$, на себя и ещё хотя бы на одно число.

Все составные числа, меньшие $20$: $4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18$.

Единица не является ни простым, ни составным числом. Множество натуральных чисел состоит из простых чисел, составных чисел и единицы.

1. Достаточно найти ещё один делитель, кроме $1$ и самого числа.
2. а) Оканчивается на $0$ — делится на $10$. б) Оканчивается на $5$ — делится на $5$.
3. в) Оканчивается на $6$ — делится на $2$.
4. г) Сумма цифр $1 + 2 + 3 + 2 + 1 = 9$ — делится на $9$ (и на $3$).

Если $a$ делится на $b$, то $b$ называют делителем числа $a$. Делители $13$ — это $1$ и $13$; делители $4$ — $1, 2, 4$; делители $12$ — $1, 2, 3, 4, 6, 12$.

У простого числа ровно два делителя — единица и оно само; у составного есть и другие.

Делитель, который является простым числом, называют простым делителем: у $12$ простые делители $2$ и $3$.

Все делители $90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$ — это $1$ и всевозможные произведения его простых делителей, где двоек не больше одной, троек не больше двух, пятёрок не больше одной:

$1, \ 2, \ 3, \ 5, \ 2 \cdot 3 = 6, \ 3 \cdot 3 = 9, \ 2 \cdot 5 = 10, \ 3 \cdot 5 = 15, \ 2 \cdot 3 \cdot 3 = 18, \ 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30, \ 3 \cdot 3 \cdot 5 = 45, \ 90$.

Других делителей у $90$ нет — их ровно $12$.

1. Простые делители: $2$, $3$, $5$.
2. Произведения по два: $2 \cdot 3 = 6$, $\ 2 \cdot 5 = 10$, $\ 3 \cdot 5 = 15$; по три: $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$.
3. Не забываем делитель $1$.

1. Выпишем двузначные числа, кратные $12$: $24, 36, 48, 60, 72, 84, 96$.
2. Отбросим кратные $8$: $24 = 8 \cdot 3$, $\ 48 = 8 \cdot 6$, $\ 72 = 8 \cdot 9$, $\ 96 = 8 \cdot 12$.
3. Остаются $36$, $60$, $84$ — подходит любое. Иначе: $12 = 2^2 \cdot 3$, а $8 = 2^3$; нужно, чтобы третьей двойки не было: $12 \cdot 3$, $12 \cdot 5$, $12 \cdot 7$.

1. Наибольшее трёхзначное число, кратное $8$: $999 : 8 = 124$ (ост. $7$), $\ 8 \cdot 124 = 992$. Но в $992$ две девятки.
2. Следующее кратное $8$ вниз: $992 - 8 = 984$ — цифры $9, 8, 4$ различны.

• Простое число больше $1$ и делится только на $1$ и на себя; $1$ — ни простое, ни составное; $2$ — единственное чётное простое.
• Делители ищут парами: $a = b \cdot c$.
• Разложение на простые множители — делим на простые числа по возрастанию, пока не получим $1$.
• Все делители числа — произведения его простых множителей (и $1$).