Математическое ожидание

Пусть в опыте происходит одно из $m$ единственно возможных событий $B_1, \ldots, B_m$ с вероятностями $p_1, \ldots, p_m$, $\ p_1 + \ldots + p_m = 1$.

Если каждому событию $B_i$ поставлено в соответствие число $x_i$, говорят, что определена случайная величина $x$, которая принимает значения $x_i$ с вероятностями $p_i$.

Таблицу «значения — вероятности» называют законом распределения случайной величины. Число очков на кубике, выигрыш в лотерее, число попаданий — случайные величины.

Математическим ожиданием случайной величины называют сумму произведений её значений на их вероятности. В ЕГЭ обозначают $E(X)$ или $EX$.

Если все $m$ значений равновероятны, $p = \dfrac1m$ и $M(x) = \dfrac{x_1 + \ldots + x_m}{m}$ — среднее арифметическое. В общем случае ожидание — среднее взвешенное (вероятностями) значений.

Его называют ещё средним значением: это значение в среднем при многократном повторении опыта.

1. а) Значения $1, \ldots, 6$ с вероятностью $\dfrac16$ каждое: $M(x) = \dfrac16(1 + 2 + \ldots + 6) = 3{,}5$.
2. б) $M(x) = 3 \cdot 0{,}5 + 2 \cdot 0{,}1 + 1 \cdot 0{,}2 + 0 \cdot 0{,}2 = 1{,}9$.
3. $M(y) = 3 \cdot 0{,}3 + 2 \cdot 0{,}55 + 1 \cdot 0{,}1 + 0 \cdot 0{,}05 = 2{,}1$ — второй стрелок в среднем выбивает больше.
4. Значение $3{,}5$ на кубике не выпадает никогда: ожидание — среднее, а не возможное значение.

1. Выплата $x$: $900$ с вероятностью $\dfrac16$, $600$ — с $\dfrac13$, $0$ — с $\dfrac12$.
2. $M(x) = 900 \cdot \dfrac16 + 600 \cdot \dfrac13 + 0 \cdot \dfrac12 = 150 + 200 = 350$.
3. Игрок вносит $500$, а получает в среднем $350$ — в среднем теряет $150$ р. за игру.

Игру называют справедливой, если в среднем каждый игрок получает одинаково: ожидания выигрышей равны (или ожидание выигрыша равно ставке).

Пример 5 (с. 351). Игра до $5$ выигранных партий прервана при счёте $4 : 3$ в пользу $A$. Как разделить ставку $C$? Сыграем мысленно ещё две партии: из $4$ равновозможных исходов $B$ выигрывает всю игру, только выиграв обе. $P(A) = \dfrac34$, $P(B) = \dfrac14$.

$M(x_A) = C \cdot \dfrac34$, $M(x_B) = C \cdot \dfrac14$ — ставку делят в отношении $3 : 1$. С задач о дележе ставки (Паскаль, Ферма, 1654) началась теория вероятностей.

1. Не более чем через $4$ партии игра закончилась бы. Сыграем мысленно ровно $4$ партии: $2^4 = 16$ равновозможных исходов.
2. $B$ выигрывает встречу, если возьмёт хотя бы $3$ партии из $4$: $C_4^3 + C_4^4 = 4 + 1 = 5$ исходов. $A$ — в остальных $11$.
3. Ставка делится в отношении $M(x_A) : M(x_B) = \dfrac{11}{16} : \dfrac{5}{16} = 11 : 5$.

1. Проверка: $0{,}2 + 0{,}1 + 0{,}4 + 0{,}3 = 1$.
2. $EX = -4 \cdot 0{,}2 + 0 \cdot 0{,}1 + 1 \cdot 0{,}4 + 3 \cdot 0{,}3 = -0{,}8 + 0{,}4 + 0{,}9 = 0{,}5$.

1. Вероятность каждого выигрыша — доля билетов: $0{,}98;\ 0{,}01;\ 0{,}007;\ 0{,}003$.
2. $EX = \dfrac{10 \cdot 980 + 100 \cdot 10 + 500 \cdot 7 + 10\,000 \cdot 3}{1000} = \dfrac{9800 + 1000 + 3500 + 30\,000}{1000} = 44{,}3$.
3. $100 - 44{,}3 = 55{,}7$ — игра несправедлива для участника.

Сверх учебника, для ЕГЭ №6. Как для набора чисел (станция «Описательная статистика»), разброс значений вокруг среднего измеряют дисперсией — ожиданием квадрата отклонения. $\sigma = \sqrt{D(X)}$ — стандартное (среднеквадратичное) отклонение.

Вывод второй формулы. Пусть $\mu = M(X)$. $\ \sum (x_i - \mu)^2 p_i = \sum x_i^2p_i - 2\mu\sum x_ip_i + \mu^2\sum p_i = M(X^2) - 2\mu^2 + \mu^2 = M(X^2) - \mu^2$.

Свойства: $D(aX + b) = a^2D(X)$; для независимых $X$ и $Y$: $D(X + Y) = D(X) + D(Y)$.

1. $M(x) = 20 \cdot 0{,}4 + 30 \cdot 0{,}5 + 70 \cdot 0{,}1 = 8 + 15 + 7 = 30$.
2. $M(x^2) = 400 \cdot 0{,}4 + 900 \cdot 0{,}5 + 4900 \cdot 0{,}1 = 160 + 450 + 490 = 1100$.
3. $D = 1100 - 30^2 = 200$. Проверка по определению: $(-10)^2 \cdot 0{,}4 + 0 + 40^2 \cdot 0{,}1 = 40 + 160 = 200$.

1. $P(X = a) = 0{,}2$. $\ M(X) = 0{,}2a$, $\ M(X^2) = 0{,}2a^2$.
2. $D(X) = 0{,}2a^2 - 0{,}04a^2 = 0{,}16a^2 = 1{,}44$, $\ a^2 = 9$, $a = 3$.
3. $M(X) = 0{,}2 \cdot 3 = 0{,}6$.

1. Для независимых величин дисперсии складываются: $D(3X + 2Y) = D(3X) + D(2Y)$.
2. Множитель выносится в квадрате: $D(3X) = 9 \cdot 5 = 45$, $\ D(2Y) = 4 \cdot 6 = 24$.
3. $D(Z) = 45 + 24 = 69$.

• Случайная величина — числа $x_i$ с вероятностями $p_i$, $\sum p_i = 1$ (закон распределения).
• $M(x) = \sum x_ip_i$ — среднее взвешенное; при равных вероятностях — среднее арифметическое.
• Справедливая игра — равные ожидания; ставку прерванной игры делят пропорционально вероятностям выигрыша.
• $D(X) = M(X^2) - (M(X))^2$, $\ \sigma = \sqrt D$.
• $D(aX + b) = a^2D(X)$; для независимых $D(X + Y) = D(X) + D(Y)$.