Формула Бернулли. Закон больших чисел

Опыт, в котором событие $A$ имеет вероятность $p$, повторяют $n$ раз независимо. Вероятность того, что $A$ произойдёт ровно $k$ раз, — формула Бернулли.

Доказательство. Событие «$A$ произошло в опытах с номерами $l_1, \ldots, l_k$ и не произошло в остальных» по формуле для независимых опытов имеет вероятность $p^kq^{n-k}$.

Наборов номеров $l_1, \ldots, l_k$ столько, сколько способов выбрать $k$ опытов из $n$, — $C_n^k$. Эти события несовместны, а «ровно $k$ раз» — их сумма. Складываем: $C_n^kp^kq^{n-k}$.

1. $p = 0{,}9$, $q = 0{,}1$, $n = 5$, $k = 3$.
2. $P_5(3) = C_5^3 \cdot 0{,}9^3 \cdot 0{,}1^2 = 10 \cdot 0{,}729 \cdot 0{,}01 = 0{,}0729$.
3. Всего около $7\%$: при такой всхожести гораздо вероятнее, что взойдут $4$ или $5$ семян.

1. $n = 3$, $k = 2$, $p = q = \dfrac12$.
2. $P_3(2) = C_3^2 \cdot \left(\dfrac12\right)^3 = \dfrac38 = 0{,}375$.
3. Перебором: ООР, ОРО, РОО — $3$ исхода из $8$.

1. $n = 4$, $p = 0{,}2$, $q = 0{,}8$.
2. «5»: $0{,}2^4 = 0{,}0016$; «4»: $C_4^3 \cdot 0{,}2^3 \cdot 0{,}8 = 0{,}0256$; «3»: $C_4^2 \cdot 0{,}2^2 \cdot 0{,}8^2 = 0{,}1536$.
3. «2»: $C_4^1 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}8^3 = 0{,}4096$; «1»: $0{,}8^4 = 0{,}4096$. Сумма $1$.

Первое свойство: $\sum_{k=0}^{n} P_n(k) = 1$ — события «ровно $k$» несовместны и в сумме достоверны. Это же даёт бином Ньютона: $\sum C_n^kp^kq^{n-k} = (p + q)^n = 1$.

Второе свойство: существует $m \approx np$ (с точностью до $1$) такое, что $P_n(k)$ возрастают при $k$ от $0$ до $m$ и убывают дальше. Большие из чисел группируются около $P_n(m)$.

Учебник, с. 356: $n = 10$, $p = \dfrac15$: $P_{10}(0) \approx 0{,}107$, $P_{10}(1) \approx 0{,}268$, $P_{10}(2) \approx 0{,}302$, $P_{10}(3) \approx 0{,}201$, дальше меньше — максимум при $k = np = 2$.

Для $n = 10$, $p = \dfrac15$: $P_{10}(1) + P_{10}(2) + P_{10}(3) \approx 0{,}7717$ — с такой вероятностью частота $\dfrac{k}{10}$ отличается от $p = 0{,}2$ не больше чем на $0{,}1$. При $n = 6$, $p = \dfrac23$: $P(3 \le k \le 5) \approx 0{,}812$.

Закон больших чисел. При многократном независимом повторении опыта близка к $1$ вероятность того, что относительная частота события мало отличается от $p$.

Точнее: для любых сколь угодно малых $\varepsilon > 0$ и $\delta > 0$ найдётся $n$, при котором частота $\dfrac mn$ отклоняется от $p$ меньше чем на $\varepsilon$ с вероятностью больше $1 - \delta$. Это обоснование статистической устойчивости частот.

Сверх учебника, для ЕГЭ №6. Число успехов $X = X_1 + \ldots + X_n$, где $X_i$ — $1$ или $0$. Для одного опыта $D(X_i) = M(X_i^2) - p^2 = p - p^2 = pq$.

Опыты независимы — дисперсии складываются: $D(X) = npq$, $\ \sigma = \sqrt{npq}$.

Для частоты $\dfrac Xn$: $D = \dfrac{pq}{n}$ — с ростом $n$ разброс частоты убывает. Это и есть закон больших чисел в числах.

1. $E(X) = np = 2p = 1{,}2$, $\ p = 0{,}6$, $q = 0{,}4$.
2. $D(X) = npq = 2 \cdot 0{,}6 \cdot 0{,}4 = 0{,}48$.

1. $\sigma^2 = npq$: $\ 3p(1 - p) = 0{,}5625$, $\ p - p^2 = 0{,}1875$, $\ p^2 - p + 0{,}1875 = 0$.
2. Корни $p = 0{,}25$ и $p = 0{,}75$; условию $p > \dfrac12$ отвечает $0{,}75$.
3. $E = np = 3 \cdot 0{,}75 = 2{,}25$.

Сверх учебника, для ЕГЭ №6. Доказательство. $D(X) = \sum (x_i - \mu)^2p_i$. Оставим только слагаемые с $|x_i - \mu| \ge \varepsilon$ — сумма не увеличится; в каждом заменим $(x_i - \mu)^2$ на меньшее $\varepsilon^2$: $\ D(X) \ge \varepsilon^2 \cdot P(|X - \mu| \ge \varepsilon)$.

Для частоты в $n$ испытаниях: $P\left(\left|\dfrac mn - p\right| \ge \varepsilon\right) \le \dfrac{pq}{n\varepsilon^2} \le \dfrac{1}{4n\varepsilon^2}$, так как $pq \le \dfrac14$. При $n \to \infty$ правая часть стремится к $0$ — закон больших чисел доказан.

1. $D = 30^2 = 900$, $\ \varepsilon = 50$.
2. $P \le \dfrac{900}{50^2} = \dfrac{900}{2500} = 0{,}36$.

1. По неравенству Чебышёва для частоты: вероятность отклонения больше $\delta$ не превосходит $\dfrac{pq}{n\delta^2} \le \dfrac{1}{4n\delta^2}$ ($p$ неизвестно, берём наибольшее $pq = \dfrac14$).
2. Нужно $\dfrac{1}{4n\delta^2} \le 1 - \gamma = 0{,}05$: $\ n \ge \dfrac{1}{4 \cdot 0{,}0025 \cdot 0{,}05} = 2000$.

• $P_n(k) = C_n^kp^kq^{n-k}$ — ровно $k$ успехов в $n$ независимых опытах.
• $\sum_k P_n(k) = 1$; наибольшие $P_n(k)$ — около $k = np$.
• Число успехов: $M = np$, $D = npq$.
• Чебышёв: $P(|X - M| \ge \varepsilon) \le \dfrac{D}{\varepsilon^2}$.
• Закон больших чисел: при больших $n$ частота почти наверняка близка к вероятности.