Сложный опыт

Опыты называют независимыми, если вероятность появления события в каждом опыте не зависит от его появления или непоявления в других опытах: бросание одной кости и бросание другой.

Сложный опыт — проведение $n$ независимых опытов. Его события при $n = 2$ записывают парами $(A,\ B)$: в первом опыте произошло $A$, во втором — $B$.

Монета и кость: пары $(\Gamma, 1), (P, 1), \ldots, (\Gamma, 6), (P, 6)$ — $12$ событий сложного опыта.

Для двух опытов. В первом $n$ случаев, событию $A$ благоприятствуют $m$: $P(A) = \dfrac mn$. Во втором $k$ случаев, событию $B$ — $l$: $P(B) = \dfrac lk$.

В сложном опыте $nk$ равновозможных и единственно возможных случаев (пары), событию $(A,\ B)$ благоприятствуют $ml$: $\ P(A,\ B) = \dfrac{ml}{nk} = \dfrac mn \cdot \dfrac lk = P(A)P(B)$.

По индукции формула верна для $n$ независимых опытов.

1. В 1-м, 4-м и 5-м бросках «одно очко» — вероятность $\dfrac16$; во 2-м и 3-м «не одно очко» — $\dfrac56$.
2. $P = \dfrac16 \cdot \dfrac56 \cdot \dfrac56 \cdot \dfrac16 \cdot \dfrac16 = \dfrac{5^2}{6^5} = \dfrac{25}{7776}$.

1. Ни одной шестёрки за $4$ броска: $\left(\dfrac56\right)^4$. Хотя бы одна — противоположное событие: $1 - \left(\dfrac56\right)^4 \approx 0{,}518$.
2. Пара шестёрок при одном бросании двух костей — $\dfrac{1}{36}$. Ни разу за $24$ бросания: $\left(\dfrac{35}{36}\right)^{24}$; хотя бы раз: $1 - \left(\dfrac{35}{36}\right)^{24} \approx 0{,}491$.
3. Шевалье де Мере считал шансы равными ($4 \cdot \frac16 = 24 \cdot \frac{1}{36}$), но проигрывал во второй игре: вероятности так не складываются.

Сверх учебника. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их ожиданий — всегда, даже для зависимых величин: в сумме $\sum (x_i + y_i)p_i$ можно разделить слагаемые.

Число успехов в $n$ опытах. Пусть $X_i = 1$, если в $i$-м опыте успех (вероятность $p$), и $X_i = 0$ иначе: $M(X_i) = p$. Число успехов $X = X_1 + \ldots + X_n$, поэтому $M(X) = np$.

Монету бросают $250$ раз — в среднем $125$ орлов ($250 \cdot 0{,}5$); кубик $60$ раз — в среднем $10$ шестёрок.

Сверх учебника, для ЕГЭ №6. Опыт с вероятностью успеха $p$ повторяют, пока не наступит успех. Сколько попыток понадобится в среднем?

Пусть $M$ — искомое среднее. Первая попытка делается всегда. С вероятностью $p$ она удачна, а с вероятностью $1 - p$ всё начинается заново и в среднем нужно ещё $M$ попыток: $M = 1 + (1 - p)M$, откуда $pM = 1$.

Монета до орла — в среднем $2$ броска, кубик до шестёрки — $6$. Если нужно $k$ успехов, попытки складываются: в среднем $\dfrac kp$.

1. Число бросков $X = X_1 + X_2$: $X_1$ — броски до первой шестёрки, $X_2$ — после неё до второй.
2. Каждое слагаемое — ожидание попыток до успеха с $p = \dfrac16$: $M(X_1) = M(X_2) = 6$.
3. $M(X) = 6 + 6 = 12$.

1. На одну мишень в среднем $\dfrac{1}{0{,}2} = 5$ выстрелов.
2. На пять мишеней — сумма пяти таких величин: $5 \cdot 5 = 25$.

1. Первый бросок даёт какую-то сторону — $1$ бросок.
2. Дальше ждём другую сторону: успех с вероятностью $0{,}5$, в среднем $\dfrac{1}{0{,}5} = 2$ броска.
3. $M = 1 + 2 = 3$.

• Независимые опыты: вероятность цепочки событий — произведение вероятностей.
• «Хотя бы один раз за $n$ опытов» $= 1 - (1 - p)^n$; вероятности отдельных опытов не складывают.
• $M(X + Y) = M(X) + M(Y)$ всегда; число успехов в $n$ опытах в среднем $np$.
• До первого успеха — в среднем $\dfrac1p$ попыток, до $k$-го — $\dfrac kp$.