Функции · 10 класс · урок 1 из 3 · Никольский, «Алгебра и начала анализа 10», п. 4.8, 5.3, 5.5, п. 4.8

Показательная функция

Выход к заданиям: ЕГЭ №12

Сначала нужно знать: Степень с действительным показателем
Зачем этот урок: ЕГЭ №12: графики вида aˣ, aˣ + b, a^(x + b); основа для показательных уравнений и неравенств (ЕГЭ №7, №16)
Дальше: Логарифмическая функция

Показательная и логарифмическая функции · урок 1

y = aˣ: определение, свойства, графики

От рациональных точек к непрерывной функции

Пусть $a > 0$ , $a \ne 1$ . Для рациональных $x$ число $a^x$ уже определено (п. 4.1). Точки $(x; a^x)$ при рациональных $x$ образуют «пунктирный» график — рациональные точки не заполняют ось $Ox$ целиком.

Уже известно: $a^x > 0$ ; при $a > 1$ из $x_1 < x_2$ следует $a^{x_1} < a^{x_2}$ , при $0 < a < 1$ — $a^{x_1} > a^{x_2}$ .

Просветы графика можно пополнить точками $(x; a^x)$ с иррациональными $x$ ( $a^x = \lim a^{r_k}$ , $r_k \to x$ ) так, что получится непрерывная функция на всей оси — причём единственным образом (доказывается в курсе анализа).

Полученную функцию $y = a^x$ называют показательной с основанием $a$ ; $y = e^x$ — экспонентой.

Основание a > 1

Область определения $(-\infty; +\infty)$ , область значений $(0; +\infty)$ : график выше оси $Ox$ .
Функция возрастает: $x_1 < x_2 \Rightarrow a^{x_1} < a^{x_2}$ .
$a^x \to +\infty$ при $x \to +\infty$ ; $a^x \to 0$ при $x \to -\infty$ — ось $Ox$ является асимптотой.
График проходит через $(0; 1)$ и $(1; a)$ ; непрерывна на всей оси. При $x > 0$ график $3^x$ выше графика $2^x$ , при $x < 0$ — ниже.

Основание 0 < a < 1

Те же область определения и значения, график проходит через $(0; 1)$ .
Функция убывает: $x_1 < x_2 \Rightarrow a^{x_1} > a^{x_2}$ ; $a^x \to 0$ при $x \to +\infty$ , $a^x \to +\infty$ при $x \to -\infty$ .
$\left(\dfrac1a\right)^x = a^{-x}$ : графики $y = a^x$ и $y = \left(\dfrac1a\right)^x$ симметричны относительно оси $Oy$ (№ 4.58: $3^x$ и $\left(\tfrac13\right)^x$ ).
Для любых действительных $x_1, x_2$ : $a^{x_1}a^{x_2} = a^{x_1 + x_2}$ , $a^{x_1} : a^{x_2} = a^{x_1 - x_2}$ , $\left(a^{x_1}\right)^{x_2} = a^{x_1x_2}$ . Доказательство первого: $\alpha_n \to x_1$ , $\beta_n \to x_2$ — рациональные; $a^{x_1}a^{x_2} = \lim a^{\alpha_n}\cdot\lim a^{\beta_n} = \lim a^{\alpha_n + \beta_n} = a^{x_1 + x_2}$ .

Преобразования графика: аргумент

$y = 2^{|x|}$ : при $x \ge 0$ совпадает с $2^x$ , левая часть — отражение правой относительно $Oy$ (функция чётная).
$y = 2^{x + 3}$ : сдвиг на $3$ влево — то же, что растяжение в $2^3 = 8$ раз вдоль $Oy$ : $2^{x + 3} = 8\cdot 2^x$ .

Преобразования графика: значение

$y = 2^x - 1$ : сдвиг на $1$ вниз, асимптота $y = -1$ ; график пересекает ось $Ox$ в точке $x = 0$ .
$y = |2^x - 1|$ : часть графика ниже оси $Ox$ отражаем вверх, асимптота слева $y = 1$ .

Никольский, № 4.54, 4.55Пример 1

а) Возрастает или убывает:

y = 3{,}5^x

y = \left(\dfrac35\right)^x

y = \left(\dfrac{\sqrt2}{2}\right)^x

? б) Сравните:

3^{3{,}4}

3^\pi

;

\left(\dfrac12\right)^{\sqrt2}

\dfrac12

;

0{,}3^{0{,}3}

1

;

\pi^e

3{,}2^{2{,}8}

а) $3{,}5 > 1$ — возрастает; $\tfrac35 < 1$ и $\tfrac{\sqrt2}{2} < 1$ — убывают.
б) $3 > 1$ , $3{,}4 > \pi$ ⇒ $3^{3{,}4} > 3^\pi$ . Основание $\tfrac12 < 1$ , $\sqrt2 > 1$ ⇒ $\left(\tfrac12\right)^{\sqrt2} < \left(\tfrac12\right)^1$ .
$0{,}3^{0{,}3} < 0{,}3^0 = 1$ . $\pi^e < 3{,}2^e < 3{,}2^{2{,}8}$ : сначала увеличили основание, затем показатель ( $3{,}2 > 1$ , $e < 2{,}8$ ).

Ответ: а) возрастает; убывает; убывает; б) $>$ ; $<$ ; $<$ ; $<$

Никольский, № 4.59Пример 2

Определите графическим способом, сколько корней имеет уравнение

2^x = x^2

Строим $y = 2^x$ и $y = x^2$ в одной системе координат.
При $x > 0$ графики пересекаются в точках $x = 2$ ( $4 = 4$ ) и $x = 4$ ( $16 = 16$ ); при $x > 4$ показательная функция растёт быстрее.
При $x < 0$ : $2^x$ убывает к $0$ при $x \to -\infty$ , $x^2$ растёт — ровно одна точка пересечения ( $x \approx -0{,}77$ ).

Ответ: три корня

ЕГЭ, задание 12Пример 3

На рисунке изображён график функции

f(x) = a^x

. Найдите значение

f(-4)

График проходит через узел $(-1; 2)$ : $a^{-1} = 2$ , $a = \dfrac12$ .
$f(-4) = \left(\dfrac12\right)^{-4} = 2^4 = 16$ .

Ответ: 16

ЕГЭ, задание 12Пример 4

На рисунке изображён график функции

f(x) = a^x + b

. Найдите

f(6)

Узлы $(2; 1)$ и $(3; 5)$ : $a^2 + b = 1$ , $a^3 + b = 5$ . Вычитаем: $a^2(a - 1) = 4$ , $a = 2$ , $b = -3$ .
Проверка по пересечению с осью $Oy$ : $f(0) = 1 - 3 = -2$ — совпадает с рисунком.
$f(6) = 2^6 - 3 = 61$ .

Ответ: 61

ЕГЭ, задание 12Пример 5

На рисунке изображён график функции

f(x) = a^{x + b}

. Найдите

f(-7)

Узел $(-3; 1)$ : $a^{-3 + b} = 1$ ⇒ $b = 3$ . Узел $(1; 4)$ : $a^{1 + 3} = 4$ ⇒ $a = \sqrt2$ .
$f(-7) = \left(\sqrt2\right)^{-4} = \dfrac14 = 0{,}25$ .

Ответ: 0,25

ЕГЭ, задание 8Пример 6

Найдите значение выражения

\dfrac{g(x + 7)}{g(x + 4)}

, если

g(t) = 2^t

$\dfrac{2^{x + 7}}{2^{x + 4}} = 2^{(x + 7) - (x + 4)} = 2^3$ .
$= 8$ при любом $x$ .

Ответ: 8

Главное

$y = a^x$ ( $a > 0$ , $a \ne 1$ ): $D = \mathbb{R}$ , $E = (0; +\infty)$ , через $(0; 1)$ , асимптота $y = 0$ .
$a > 1$ — возрастает, $0 < a < 1$ — убывает.
Графики $a^x$ и $\left(\tfrac1a\right)^x$ симметричны относительно $Oy$ .
В №12 находим $a$ и $b$ по двум узлам сетки, проверяем третьей точкой.

Показательная функция

Все уроки станции «Показательная и логарифмическая функции»