Функции · 10 класс · урок 2 из 3 · Никольский, «Алгебра и начала анализа 10», п. 4.8, 5.3, 5.5, п. 5.3

Логарифмическая функция

Выход к заданиям: ЕГЭ №12

Сначала нужно знать: Понятие логарифма, показательная функция
Зачем этот урок: ЕГЭ №12: графики вида logₐx + b, logₐ(x + b); основа для логарифмических уравнений и неравенств
Дальше: Степенные функции

Показательная и логарифмическая функции · урок 2

y = logₐ x: график, свойства, связь с показательной

Определение и график

Каждому $x > 0$ поставим в соответствие $\log_a x$ ( $a > 0$ , $a \ne 1$ ). Функцию $y = \log_a x$ называют логарифмической; область определения — все положительные числа.

Построим кривую $\Gamma$ : $x = a^y$ , $y \in \mathbb{R}$ — точки $(a^y; y)$ . При $x > 0$ равенства $x = a^y$ и $y = \log_a x$ выражают одну и ту же зависимость, поэтому $\Gamma$ — одновременно график $y = \log_a x$ .

Точки $(t; a^t)$ и $(a^t; t)$ симметричны относительно $y = x$ : график $y = \log_a x$ — отражение графика $y = a^x$ в прямой $y = x$ .

Основание a > 1

1) Непрерывна и возрастает на $(0; +\infty)$ : когда $y$ непрерывно растёт по $\mathbb{R}$ , $x = a^y$ непрерывно растёт по $(0; +\infty)$ , и наоборот.
2) $y \to +\infty$ при $x \to +\infty$ ; $y \to -\infty$ при $x \to 0$ — ось $Oy$ является асимптотой.
Так как $\log_a 1 = 0$ : при $x > 1$ $y > 0$ , при $0 < x < 1$ $y < 0$ .
Область значений — вся ось $(-\infty; +\infty)$ ; график проходит через $(1; 0)$ и $(a; 1)$ .

Основание 0 < a < 1

1) Непрерывна и убывает на $(0; +\infty)$ .
2) $y \to -\infty$ при $x \to +\infty$ ; $y \to +\infty$ при $x \to 0$ .
При $x > 1$ $y < 0$ , при $0 < x < 1$ $y > 0$ .
$\log_{\frac1a} x = -\log_a x$ : графики $y = \log_2 x$ и $y = \log_{\frac12} x$ симметричны относительно оси $Ox$ .

Сравнение логарифмов и преобразования графика

$a > 1$ : $\log_a x_1 < \log_a x_2 \iff 0 < x_1 < x_2$ ; $0 < a < 1$ : знак меняется. $\log_2 3 < \log_2 5$ , но $\log_{\frac12} 3 > \log_{\frac12} 5$ .
$y = \log_2(-x)$ — отражение относительно $Oy$ ; $y = \log_2|x|$ — чётная функция, две ветви.
$y = \log_2(x - 3)$ — сдвиг вправо на $3$ , асимптота $x = 3$ ; $y = \log_2 x - 2$ — сдвиг вниз на $2$ .
$y = |\log_2 x|$ — часть графика при $0 < x < 1$ отражаем вверх.

Никольский, № 5.30, 5.33Пример 1

а) При каких

x

функция

y = \log_a x

(

a > 1

) положительна, отрицательна? б) Сравните:

\log_2\dfrac13

\log_2\dfrac15

;

\log_{\frac12} 3

\log_{\frac12} 5

а) $\log_a x > 0 = \log_a 1 \iff x > 1$ ; отрицательна при $0 < x < 1$ .
б) $\tfrac13 > \tfrac15$ и основание $2 > 1$ ⇒ $\log_2\tfrac13 > \log_2\tfrac15$ .
$3 < 5$ , основание $\tfrac12 < 1$ ⇒ $\log_{\frac12} 3 > \log_{\frac12} 5$ .

Ответ: а) $x > 1$ ; $0 < x < 1$ ; б) $>$ ; $>$

Никольский, № 5.34Пример 2

На каком промежутке точки графика

y = \log_2 x

расположены выше соответствующих точек графика

y = \log_4 x

$\log_4 x = \dfrac{\log_2 x}{\log_2 4} = \dfrac12\log_2 x$ .
$\log_2 x > \dfrac12\log_2 x \iff \dfrac12\log_2 x > 0 \iff x > 1$ .
При $0 < x < 1$ — ниже, при $x = 1$ графики пересекаются.

Ответ: $(1; +\infty)$

ЕГЭ, задание 12Пример 3

На рисунке изображён график функции вида

f(x) = \log_a x

. Найдите значение

f(16)

График проходит через узел $(2; 1)$ : $\log_a 2 = 1$ , $a = 2$ .
$f(16) = \log_2 16 = 4$ .

Ответ: 4

ЕГЭ, задание 12Пример 4

На рисунке изображён график функции

f(x) = b + \log_a x

. Найдите

f(32)

Узлы $(2; -2)$ и $(4; -1)$ : $b + \log_a 2 = -2$ , $b + \log_a 4 = -1$ .
Вычитаем: $\log_a 4 - \log_a 2 = \log_a 2 = 1$ ⇒ $a = 2$ , $b = -3$ .
$f(32) = -3 + \log_2 32 = -3 + 5 = 2$ .

Ответ: 2

ЕГЭ, задание 12Пример 5

На рисунке изображён график функции

f(x) = \log_a(x + b)

. Найдите

f(11)

Узлы $(-3; 1)$ и $(-1; 2)$ : $a = b - 3$ и $a^2 = b - 1$ .
$(b - 3)^2 = b - 1$ , $b^2 - 7b + 10 = 0$ : $b = 5$ ( $a = 2$ ) или $b = 2$ ( $a = -1$ — не основание).
Проверка: график пересекает ось $Ox$ при $x + 5 = 1$ , $x = -4$ — как на рисунке. $f(11) = \log_2 16 = 4$ .

Ответ: 4

Главное

$y = \log_a x$ : $D = (0; +\infty)$ , $E = \mathbb{R}$ , через $(1; 0)$ и $(a; 1)$ , асимптота $x = 0$ .
$a > 1$ — возрастает, $0 < a < 1$ — убывает.
График $\log_a x$ — отражение графика $a^x$ в прямой $y = x$ .
В №12 составляем систему по двум узлам и проверяем область определения.

Логарифмическая функция

Все уроки станции «Показательная и логарифмическая функции»