Функции · 10 класс · урок 3 из 3 · Никольский, «Алгебра и начала анализа 10», п. 4.8, 5.3, 5.5, п. 5.5

Степенные функции

Выход к заданиям: ЕГЭ №12

Сначала нужно знать: Функция y = xⁿ, корень степени n, показательная и логарифмическая функции
Зачем этот урок: ЕГЭ №12: графики y = k√x и гиперболы; степенные функции в производной и интеграле
Дальше: Показательные и логарифмические уравнения

Показательная и логарифмическая функции · урок 3

Степенные функции

y = x^β при натуральных, целых, нулевом и нецелых β

Степенная функция

При любом $\beta$ функция определена на $(0; +\infty)$ : для $x > 0$ число $x^\beta$ существует и положительно.
При $\beta > 0$ считают $0^\beta = 0$ — точка $x = 0$ входит в область определения; при $\beta \le 0$ запись $0^\beta$ смысла не имеет.
Отрицательные $x$ допустимы только при целых $\beta$ .

Функцию

y = x^\beta

, где

\beta

— данное действительное число, называют степенной:

y = x^3

y = x^{-3}

y = x^{\frac23}

y = x^{\sqrt2}

1. β = n натуральное и 2. β = −n

$y = x^n$ : определена на $\mathbb{R}$ , непрерывна, на $[0; +\infty)$ возрастает, принимая значения $[0; +\infty)$ ; при нечётном $n$ — нечётная, при чётном — чётная.
$y = x^{-n} = \dfrac{1}{x^n}$ : область определения $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ . На $(0; +\infty)$ : непрерывна, убывает, принимая все значения из $(0; +\infty)$ ; $y \to +\infty$ при $x \to 0$ ; $y \to 0$ при $x \to +\infty$ .
При отрицательных $x$ свойства следуют из чётности (чётное $n$ ) или нечётности (нечётное $n$ ).

Чётные отрицательные степени и β = 0

$y = x^{-2}$ , $y = x^{-4}$ — чётные, график в I и II четвертях, обе оси — асимптоты.
$y = x^{-1}$ , $y = x^{-3}$ — нечётные, график в I и III четвертях. $y = x^{-1}$ — гипербола $y = \dfrac1x$ .
$\beta = 0$ : $x^0 = 1$ при $x \ne 0$ ; график — прямая $y = 1$ без точки $(0; 1)$ .

График y = x⁰

$0^0$ не определено, поэтому точку $(0; 1)$ выкалываем.

Это частый подвох: $y = \dfrac{x}{x}$ , $y = (x - 2)^0$ — горизонтальные прямые с выколотой точкой.

4. β > 0 нецелое

Определена на $[0; +\infty)$ , непрерывна, возрастает, принимая все значения из $[0; +\infty)$ ; при $x > 0$ $y > 0$ ; $y \to +\infty$ при $x \to +\infty$ .
Примеры: $y = x^{\frac12} = \sqrt x$ , $y = x^{\frac32} = x\sqrt x$ , $y = x^{\frac23}$ (только $x \ge 0$ !).
При $0 < \beta < 1$ график выпуклый вверх и при $0 < x < 1$ лежит выше $y = x$ ; при $\beta > 1$ — наоборот.
Замечание. Можно рассматривать и натуральные $\beta$ только при $x \ge 0$ — область определения тогда сужена.

5. β < 0 нецелое

$y = x^{\beta}$ , $\beta < 0$ нецелое: определена на $(0; +\infty)$ , непрерывна, убывает, принимая все значения из $(0; +\infty)$ .
$y \to 0$ при $x \to +\infty$ ; $y \to +\infty$ при $x \to 0$ .
При $0 < x < 1$ : $x^{-\frac32} > x^{-\frac12}$ ; при $x > 1$ : $x^{-\frac32} < x^{-\frac12}$ — характер убывания различен.

Степенная функция через экспоненту

x^\beta = b^{\beta\log_b x} = e^{\beta\ln x} \qquad (x > 0)

Замечание 3. $x = b^{\log_b x}$ , поэтому $x^\beta = \left(b^{\log_b x}\right)^\beta = b^{\beta\log_b x}$ .
Замечание 4. Для $x_1, x_2 > 0$ : $(x_1x_2)^\beta = e^{\beta\ln(x_1x_2)} = e^{\beta\ln x_1 + \beta\ln x_2} = e^{\beta\ln x_1}e^{\beta\ln x_2} = x_1^\beta x_2^\beta$ .
Эта запись нужна в 11 классе: через неё находят производную $(x^\beta)' = \beta x^{\beta - 1}$ .

Никольский, № 5.44, 5.45Пример 1

Найдите область определения функций: а)

y = x^{\frac53}

; б)

y = x^{-\frac23}

; в)

y = x^{-3}

; г)

y = x^0

; д)

y = x^{\sqrt2}

а) $\beta > 0$ нецелое — $[0; +\infty)$ . б) $\beta < 0$ нецелое — $(0; +\infty)$ .
в) целое отрицательное — $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ . г) то же: $x \ne 0$ .
д) $\sqrt2 > 0$ нецелое — $[0; +\infty)$ .

Ответ: а) $[0; +\infty)$ ; б) $(0; +\infty)$ ; в), г) $x \ne 0$ ; д) $[0; +\infty)$

По п. 5.5Пример 2

Сравните: а)

2{,}3^{0{,}7}

2{,}4^{0{,}7}

; б)

0{,}5^{-\frac34}

0{,}6^{-\frac34}

; в)

0{,}3^{\frac12}

0{,}3^{\frac32}

а) $y = x^{0{,}7}$ возрастает на $[0; +\infty)$ , $2{,}3 < 2{,}4$ ⇒ $2{,}3^{0{,}7} < 2{,}4^{0{,}7}$ .
б) $y = x^{-\frac34}$ убывает на $(0; +\infty)$ , $0{,}5 < 0{,}6$ ⇒ $0{,}5^{-\frac34} > 0{,}6^{-\frac34}$ .
в) при $0 < x < 1$ график $x^{\frac12}$ выше $x^{\frac32}$ : $0{,}3^{\frac12} > 0{,}3^{\frac32}$ .

Ответ: а) $<$ ; б) $>$ ; в) $>$

ЕГЭ, задание 12Пример 3

На рисунке изображён график функции

f(x) = k\sqrt x

. Найдите

f(32)

График проходит через узел $(8; 4)$ : $k\sqrt8 = 4$ , $k = \dfrac{4}{2\sqrt2} = \sqrt2$ .
$f(32) = \sqrt2\cdot\sqrt{32} = \sqrt{64} = 8$ .

Ответ: 8

Главное

$y = x^\beta$ всегда определена на $(0; +\infty)$ ; при $\beta > 0$ — и в нуле, при целом $\beta$ — и для $x < 0$ .
$\beta > 0$ — возрастает на $[0; +\infty)$ , $\beta < 0$ — убывает на $(0; +\infty)$ .
$x^0 = 1$ при $x \ne 0$ — прямая с выколотой точкой.
$x^\beta = e^{\beta\ln x}$ при $x > 0$ .

Все уроки станции «Показательная и логарифмическая функции»