Проценты в банке. Вклады

Увеличить число на $p\%$ — значит прибавить к нему $\dfrac{p}{100}$ его самого: $\ A + \dfrac{p}{100}A = A\left(1 + \dfrac{p}{100}\right)$. Уменьшить на $p\%$ — умножить на $1 - \dfrac{p}{100}$.

Число $k = 1 + \dfrac{p}{100}$ называют множителем. Рост на $10\%$ — это $k = 1{,}1$, на $25\%$ — $k = 1{,}25$, снижение на $20\%$ — $k = 0{,}8$.

Несколько изменений подряд — множители перемножаются, а не проценты складываются. Цену подняли на $20\%$, потом снизили на $20\%$: $\ 1{,}2 \cdot 0{,}8 = 0{,}96$ — цена стала на $4\%$ ниже исходной.

Положили $100\,000$ р. под $10\%$ годовых. Простые проценты начисляют каждый год на исходную сумму: прибавка всегда $10\,000$ р. Суммы образуют арифметическую прогрессию с разностью $d = 10\,000$ (Никольский 9, п. 7.1).

Сложные проценты начисляют на сумму, которая лежит на счёте сейчас, вместе с уже начисленными процентами: каждый год сумма умножается на $1{,}1$. Суммы образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $q = 1{,}1$ (п. 8.1).

В задачах ЕГЭ №13 банк всегда начисляет проценты на текущую сумму — это сложные проценты.

Если сумма $S$ лежит под $r\%$ годовых и проценты каждый год добавляются к вкладу, то через $n$ лет на счёте $S k^n$, где $k = 1 + \dfrac{r}{100}$.

Вывод: через год $S_1 = Sk$; через два $S_2 = S_1 k = Sk^2$; через три $S_3 = S_2 k = Sk^3$. Каждый год — ещё один множитель $k$, через $n$ лет их $n$ (строго — по индукции).

Если ставка меняется, множители разные: $\ S_n = S k_1 k_2 \ldots k_n$. Порядок множителей не важен — от перестановки лет итог не меняется.

1. $500k^3 = 665{,}5$, откуда $k^3 = \dfrac{665{,}5}{500} = 1{,}331$.
2. $1{,}331 = 1{,}1^3$, значит, $k = 1{,}1$ и $r = 100(1{,}1 - 1) = 10$.

1. Пусть $a$ лет ставка была $5\%$, $b$ лет — $10\%$. Тогда $32\,000 \cdot 1{,}05^a \cdot 1{,}1^b \cdot 1{,}25 = 53\,361$.
2. $32\,000 \cdot 1{,}25 = 40\,000$, поэтому $1{,}05^a \cdot 1{,}1^b = \dfrac{53\,361}{40\,000}$, то есть $\left(\dfrac{21}{20}\right)^a\left(\dfrac{11}{10}\right)^b = \dfrac{53\,361}{40\,000}$.
3. Разложим на множители: $53\,361 = 231^2 = 3^2 \cdot 7^2 \cdot 11^2$, $\ 40\,000 = 200^2$. Слева в числителе $21^a \cdot 11^b = 3^a 7^a 11^b$, поэтому $a = 2$, $b = 2$. Проверка знаменателя: $20^2 \cdot 10^2 = 40\,000$.
4. Всего $a + b + 1 = 2 + 2 + 1 = 5$ лет.

Пусть в начале 2-го, 3-го, …, $n$-го года вклад пополняют на $x$, а проценты начисляют в конце каждого года. Каждый внесённый рубль растёт отдельно столько лет, сколько пролежит: исходная сумма — $n$ лет, первое пополнение — $n - 1$ год, последнее — $1$ год.

Отсюда формула. Скобка — сумма геометрической прогрессии: $\ k + k^2 + \ldots + k^{n-1} = \dfrac{k(k^{n-1} - 1)}{k - 1}$.

Для двух-трёх лет формулу не запоминают, а пишут цепочку: $\ \big((Sk + x)k + x\big)k$ — «умножили на $k$, прибавили $x$» столько раз, сколько было событий.

1. $k = 1{,}2$. Цепочка: $\ \big((1{,}2S + 10) \cdot 1{,}2 + 10\big) \cdot 1{,}2 = 173{,}28$.
2. Раскроем: $1{,}728S + 14{,}4 + 12 = 173{,}28$, $\ 1{,}728S = 146{,}88$.
3. $S = \dfrac{146{,}88}{1{,}728} = 85$.

Пусть вклад $S$ лежит под $r\%$, а после каждого из $n$ начислений снимают одну и ту же сумму $x$, и после последнего снятия на счёте ноль. Как с пополнениями: $\ Sk^n - x\left(k^{n-1} + \ldots + k + 1\right) = 0$.

Разделим на $k^n$ — получим формулу на слайде. Смысл: чтобы через $m$ лет снять $x$, сегодня нужно положить $\dfrac{x}{k^m}$. Вклад $S$ — сумма таких «сегодняшних» частей.

Это ровно та же схема, что у кредита с равными платежами: банк — вкладчик, клиент снимает деньги. Её разберём в уроке 3.

1. Каждое снятие $x = 375\,000 : 3 = 125\,000$ р., $k = 1{,}25 = \dfrac54$.
2. $S = \dfrac{x}{k} + \dfrac{x}{k^2} + \dfrac{x}{k^3} = 125\,000\left(\dfrac45 + \dfrac{16}{25} + \dfrac{64}{125}\right)$.
3. $= 125\,000 \cdot \dfrac{100 + 80 + 64}{125} = 1000 \cdot 244 = 244\,000$.

1. Сумму вклада можно не знать: она одинакова и сокращается. Сравниваем множители: $\ 1{,}14^2\left(1 + \dfrac{p}{100}\right) > 1{,}12^3$.
2. $1{,}12^3 = 1{,}404928$, $\ 1{,}14^2 = 1{,}2996$. Тогда $1 + \dfrac{p}{100} > \dfrac{1{,}404928}{1{,}2996} \approx 1{,}0811$.
3. $p > 8{,}1\ldots$; наименьшее целое $p = 9$. Проверка: при $p = 8$ $\ 1{,}2996 \cdot 1{,}08 = 1{,}403568 < 1{,}404928$ — ещё не выгоднее.

1. Продали в конце года $t$ — к концу 20-го года на счёте $f(t) = t^2 \cdot 1{,}25^{20 - t}$.
2. Сравним соседние значения: $\ \dfrac{f(t + 1)}{f(t)} = \dfrac{(t + 1)^2}{t^2} \cdot \dfrac{1}{1{,}25}$. Продавать позже выгодно, пока бумаги растут быстрее вклада: $\left(1 + \dfrac1t\right)^2 > 1{,}25$.
3. $1 + \dfrac1t > \sqrt{1{,}25} \approx 1{,}118$, то есть $t < 8{,}47\ldots$ Значит, $f(1) < f(2) < \ldots < f(9)$.
4. А $\dfrac{f(10)}{f(9)} = \dfrac{100}{81 \cdot 1{,}25} = \dfrac{100}{101{,}25} < 1$, и дальше $f$ только убывает. Наибольшее $f$ — при $t = 9$.

• Рост на $r\%$ — умножение на $k = 1 + \dfrac{r}{100}$; изменения подряд — произведение множителей.
• Сложные проценты: $S_n = Sk^n$ — геометрическая прогрессия.
• Пополнения и снятия: каждый рубль растёт своё число лет; цепочка «$\times k$, $\pm x$».
• Снятия до нуля: $S = \dfrac{x}{k} + \ldots + \dfrac{x}{k^n}$.
• Сравнение вкладов — сравнение множителей, сумма вклада сокращается.