Кредит: дифференцированные платежи

• $S$ — сумма кредита, $r\%$ — ставка за период (год или месяц), $k = 1 + \dfrac{r}{100}$.
• Каждый период два события: сначала банк начисляет проценты — долг $D$ становится $Dk$; потом клиент платит $x$ — долг становится $Dk - x$.
• Типичное условие: «каждый январь долг возрастает на $r\%$; с февраля по июнь нужно выплатить часть долга; в июле долг должен быть …». От июля до июля — один период.
• $D_0 = S$ — долг сразу после выдачи, $D_i$ — долг после $i$-го платежа, $D_n = 0$ — кредит погашен.

Из $D_i = D_{i-1}k - x_i$ получаем $\ x_i = \dfrac{r}{100}D_{i-1} + \left(D_{i-1} - D_i\right)$: платёж = начисленные проценты + то, на сколько уменьшился долг.

Сложим все платежи. Вторые слагаемые сокращаются цепочкой: $(D_0 - D_1) + (D_1 - D_2) + \ldots + (D_{n-1} - D_n) = D_0 - D_n = S$.

Главная формула: всего выплачено = кредит + ставка × сумма долгов на начало периодов. Она верна для любого графика долга — равномерного, по таблице, с равными платежами.

1. Проценты начисляют на долг, который был до начисления: $100\%$, $90\%$, $80\%$, $70\%$, $60\%$, $50\%$ кредита — шесть месяцев.
2. Сумма долгов: $100 + 90 + 80 + 70 + 60 + 50 = 450\%$ кредита.
3. По главной формуле переплата $= 0{,}05 \cdot 450\% = 22{,}5\%$ кредита.

Условие «в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года» значит: долг убывает равномерно, каждый раз на $\dfrac{S}{n}$.

Долги на начало периодов: $\ S,\ \dfrac{n - 1}{n}S,\ \ldots,\ \dfrac{2}{n}S,\ \dfrac{1}{n}S$.

$i$-й платёж: $\ x_i = \dfrac{S}{n} + \dfrac{r}{100} \cdot \dfrac{n - i + 1}{n}S$. Платежи убывают — арифметическая прогрессия с разностью $-\dfrac{r}{100} \cdot \dfrac{S}{n}$.

Сумма долгов: $\ \dfrac{S}{n}\big(n + (n - 1) + \ldots + 1\big) = \dfrac{S}{n} \cdot \dfrac{n(n + 1)}{2} = \dfrac{S(n + 1)}{2}$ — сумма арифметической прогрессии. Подставляем в главную формулу.

Переплата $= \dfrac{r}{100} \cdot S \cdot \dfrac{n + 1}{2}$.

Наибольший платёж — первый: $\ \dfrac{S}{n} + \dfrac{r}{100}S$. Наименьший — последний: $\ \dfrac{S}{n}\left(1 + \dfrac{r}{100}\right) = \dfrac{S}{n}k$.

Кредит $1200$ тыс. р. на $4$ года под $10\%$, долг уменьшается равномерно — на $300$ тыс. в год.

Всего выплачено $420 + 390 + 360 + 330 = 1500$ тыс. По формуле: $\ 1200 + 0{,}1 \cdot 1200 \cdot \dfrac{5}{2} = 1200 + 300 = 1500$.

Платежи уменьшаются на $30$ тыс. $= 0{,}1 \cdot 300$ — ровно на проценты с одной «ступеньки» долга.

1. Схема дифференцированная: $S = 5$, $n = 8$, $\dfrac{r}{100} = 0{,}16$.
2. Сумма выплат: $\ 5 + 0{,}16 \cdot 5 \cdot \dfrac{8 + 1}{2} = 5 + 0{,}8 \cdot 4{,}5 = 5 + 3{,}6 = 8{,}6$ млн.

1. Переплата $\dfrac{r}{100} \cdot S \cdot \dfrac{n + 1}{2}$ при $n = 6$ равна $0{,}63S$.
2. $\dfrac{r}{100} \cdot \dfrac{7}{2} = 0{,}63$, $\ \dfrac{r}{100} = 0{,}18$, $\ r = 18$.

1. Обозначим $q = \dfrac{r}{100}$. Наибольший платёж — первый: $\ \dfrac{S}{12} + qS$. Наименьший — последний: $\ \dfrac{S}{12}(1 + q)$.
2. $\dfrac{S}{12} + qS = 2 \cdot \dfrac{S}{12}(1 + q)$. Умножим на $\dfrac{12}{S}$: $\ 1 + 12q = 2 + 2q$.
3. $10q = 1$, $\ q = 0{,}1$, $\ r = 10$.

1. Наибольший платёж — первый: $\ \dfrac{4}{n} + 0{,}15 \cdot 4 = \dfrac{4}{n} + 0{,}6$.
2. $\dfrac4n + 0{,}6 \le 1{,}25$, $\ \dfrac4n \le 0{,}65$, $\ n \ge \dfrac{4}{0{,}65} = 6{,}15\ldots$
3. Срок — целое число лет: $n = 7$. Проверка: при $n = 6$ первый платёж $0{,}667 + 0{,}6 > 1{,}25$.

• Каждый период: долг $\times k$, затем минус платёж.
• Платёж = проценты + уменьшение долга; всего выплачено $= S + \dfrac{r}{100}(D_0 + \ldots + D_{n-1})$.
• Долг уменьшается равномерно: переплата $\dfrac{r}{100} \cdot S \cdot \dfrac{n + 1}{2}$.
• Наибольший платёж — первый $\dfrac{S}{n} + \dfrac{r}{100}S$, наименьший — последний $\dfrac{S}{n}k$.
• Долг по таблице — та же главная формула: складываем долги из таблицы.