Кредит: равные платежи

Кредит $S$ гасят $n$ равными платежами $x$; каждый период долг умножается на $k$, затем вычитается $x$.

После 1-го платежа: $Sk - x$. После 2-го: $(Sk - x)k - x = Sk^2 - x(k + 1)$. После 3-го: $Sk^3 - x(k^2 + k + 1)$.

После $n$-го платежа долг равен нулю — это уравнение на слайде. В нём четыре величины $S$, $k$, $n$, $x$: по любым трём находят четвёртую.

Скобка — сумма $n$ членов геометрической прогрессии с первым членом $1$ и знаменателем $k$: $\ 1 + k + \ldots + k^{n-1} = \dfrac{k^n - 1}{k - 1}$.

Подставим: $\ Sk^n = x \cdot \dfrac{k^n - 1}{k - 1}$ — отсюда формула. Такой платёж называют аннуитетным.

Частные случаи: $n = 2$ — $\ x = \dfrac{Sk^2}{k + 1}$; $\ n = 3$ — $\ x = \dfrac{Sk^3}{k^2 + k + 1}$. На экзамене при малых $n$ проще писать цепочку, чем общую формулу.

Разделим уравнение равных платежей на $k^n$ — получим формулу на слайде. Её удобно брать, когда известен платёж, а сумму кредита надо найти.

Смысл: платёж $x$ через $m$ периодов «стоит» сегодня $\dfrac{x}{k^m}$ — столько бы выросло до $x$ под те же проценты. Кредит равен сумме сегодняшних стоимостей всех платежей.

Та же формула была у вклада со снятиями до нуля (урок 1): для банка выдать кредит — то же, что принять вклад, который клиент снимает равными частями.

Кредит $1200$ тыс. под $10\%$ на $4$ года. Равные платежи: $x = \dfrac{1200 \cdot 1{,}1^4 \cdot 0{,}1}{1{,}1^4 - 1} \approx 378{,}6$ тыс., всего $\approx 1514{,}3$ тыс. Дифференцированные: всего $1500$ тыс. (урок 2).

Причина — главная формула: выплачено $= S + \dfrac{r}{100} \cdot$ (сумма долгов). При равных платежах первые годы платёж почти весь уходит на проценты, долг убывает медленнее, сумма долгов больше — переплата больше.

Зато равные платежи в начале меньше: $378{,}6$ тыс. против $420$ тыс. у дифференцированной схемы.

1. $k = 1{,}1$, $n = 2$: $\ 147\,000 \cdot 1{,}21 - x(1{,}1 + 1) = 0$.
2. $x = \dfrac{147\,000 \cdot 1{,}21}{2{,}1} = 70\,000 \cdot 1{,}21 = 84\,700$ р.
3. Выплачено $2 \cdot 84\,700 = 169\,400$ р.

1. Известен платёж — берём $S = \dfrac{x}{k} + \dfrac{x}{k^2} + \dfrac{x}{k^3}$, вынесем $\dfrac{x}{k^3}$: $\ S = \dfrac{x}{k^3}\left(k^2 + k + 1\right)$.
2. $\dfrac{x}{k^3} = \dfrac{2{,}662}{1{,}331} = 2$ млн; $\ k^2 + k + 1 = 1{,}21 + 1{,}1 + 1 = 3{,}31$.
3. $S = 2 \cdot 3{,}31 = 6{,}62$ млн $= 6\,620\,000$ р.

1. Сумма кредита одна и та же: $\ 38\,016\left(\dfrac1k + \dfrac1{k^2} + \dfrac1{k^3}\right) = 52\,416\left(\dfrac1k + \dfrac1{k^2}\right)$.
2. Умножим на $k^3$: $\ 38\,016(k^2 + k + 1) = 52\,416(k^2 + k)$, то есть $38\,016 = 14\,400(k^2 + k)$, $\ k^2 + k = 2{,}64$.
3. $k^2 + k - 2{,}64 = 0$, $\ D = 1 + 10{,}56 = 11{,}56 = 3{,}4^2$, $\ k = \dfrac{-1 + 3{,}4}{2} = 1{,}2$ (второй корень отрицательный).
4. $r = 100(1{,}2 - 1) = 20$.

1. Два года без платежей долг просто растёт: к концу 2-го года $S \cdot 1{,}1^2$, платёж $x$; к концу 4-го $(S \cdot 1{,}1^2 - x) \cdot 1{,}1^2 - x = 0$.
2. $S \cdot 1{,}1^4 = x(1{,}1^2 + 1) = 2{,}21x$.
3. $x = \dfrac{4\,420\,000 \cdot 1{,}4641}{2{,}21} = 2\,000\,000 \cdot 1{,}4641 = 2\,928\,200$ р.

1. Чем больше платёж, тем короче срок — платим по максимуму, $24$ тыс. в год, и считаем долг (в тыс. р.):
2. $100 \to 110 - 24 = 86 \to 94{,}6 - 24 = 70{,}6 \to 77{,}66 - 24 = 53{,}66$.
3. $\to 59{,}026 - 24 = 35{,}026 \to 38{,}5286 - 24 = 14{,}5286$ — после пяти платежей долг ещё есть.
4. В шестой год долг $14{,}5286 \cdot 1{,}1 \approx 15{,}98 < 24$ — его закрывает последний, меньший платёж. Срок — $6$ лет.

• Равные платежи: $\ Sk^n = x\left(k^{n-1} + \ldots + 1\right)$, $\ x = \dfrac{Sk^n(k - 1)}{k^n - 1}$.
• Известен платёж — $S = \dfrac{x}{k} + \ldots + \dfrac{x}{k^n}$.
• При малых $n$ пишем цепочку «$\times k$, $-x$» до нуля.
• При тех же $S$, $r$, $n$ равные платежи дороже дифференцированных: долг убывает медленнее.
• Платежи не каждый год — между ними долг просто умножается на $k$.