Тепловые явления · 10 класс · урок 2 из 3 · Мякишев, «Физика 10» (2019), гл. 6, § 40–41, § 41

Уравнение состояния идеального газа

Выход к заданиям: ЕГЭ №7, ЕГЭ №9, ЕГЭ №10, ЕГЭ №23, ЕГЭ №24

Сначала нужно знать: Газовые законы, молярная масса, количество вещества
Зачем этот урок: ЕГЭ №7, №23, №24: уравнение Менделеева — Клапейрона в каждой задаче на газ
Дальше: Изопроцессы на графиках

Газовые законы · урок 2

pV = \nu RT

Вывод уравнения Клапейрона

Состояние газа данной массы задают три параметра: $p$ , $V$ , $T$ . Переведём газ из состояния $1$ ( $p_1, V_1, T_1$ ) в состояние $2$ ( $p_2, V_2, T_2$ ) в два шага.

Изобарно до температуры $T_2$ : объём станет $V' = V_1\dfrac{T_2}{T_1}$ . Потом изотермически до $p_2$ : $p_1V' = p_2V_2$ . Подставим $V'$ :

\frac{p_1V_1}{T_1} = \frac{p_2V_2}{T_2}, \qquad \frac{pV}{T} = \text{const}.

Уравнение Клапейрона (объединённый газовый закон): произведение давления газа данной массы на объём, делённое на абсолютную температуру, не зависит от состояния. Опыт с гофрированным сосудом и манометром это подтверждает.

Универсальная газовая постоянная

Найдём константу для одного моля. При $0$ °C и нормальном давлении $101\,325$ Па моль любого газа занимает одинаковый объём $V_{M0} = 0{,}0224$ м³:

R = \frac{p_0V_{M0}}{T_0} = \frac{101\,325 \cdot 0{,}0224}{273} \approx 8{,}31\ \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}.

Для моля любого газа

pV_M = RT

;

R

одна для всех газов. Связь с постоянной Больцмана:

R = kN_A

Уравнение Менделеева — Клапейрона

Для произвольного количества газа $\nu = \dfrac{m}{M}$ объём в $\nu$ раз больше молярного: $V = \nu V_M$ . Умножив $pV_M = RT$ на $\nu$ :

pV = \frac{m}{M}RT = \nu RT.

В таком виде уравнение впервые записал Д. И. Менделеев.
Единственная величина, зависящая от рода газа, — молярная масса $M$ .
Через концентрацию: $p = nkT$ — то же уравнение, полученное в МКТ.
Плотность газа: $\rho = \dfrac{m}{V} = \dfrac{pM}{RT}$ .

Как решать задачи на уравнение состояния

Перевести всё в СИ: литры в м³ ( $1$ л $= 10^{-3}$ м³), граммы в кг, °C в К.
Масса газа не меняется — удобнее $\dfrac{p_1V_1}{T_1} = \dfrac{p_2V_2}{T_2}$ .
Газ выпускают или накачивают — писать $pV = \nu RT$ для каждого состояния отдельно.
Смесь газов: каждый газ занимает весь объём, давления складываются (закон Дальтона).
Изопроцесс — частный случай: один из трёх параметров сокращается.

ОпытСостояние газа на pV-диаграмме

Изобарный процесс: давление постоянно, нагреватель держит $400$ К.
Следи за счётчиками $p$ , $V$ , $T$ и проверь $\dfrac{pV}{T}$ в разных точках — меняется ли оно?
Переключи на изотерму и повтори проверку.

Для одного моля в любой точке

\dfrac{pV}{T} = R \approx 8{,}31

Дж/К — уравнение состояния выполняется при любом процессе.

ФизЛаб · Изопроцессы и работа газаизобара, нагреватель 400 Кmatfizliga.ru/fizlab/#gaspv?mode=isoP&Tset=400

ЕГЭ, задание 7Пример 1

В закрытом сосуде объёмом

20

л находится

5

моль кислорода при

127

°C. Чему равно давление? Ответ в кПа.

$T = 400$ К, $V = 0{,}02$ м³.
$p = \dfrac{\nu RT}{V} = \dfrac{5 \cdot 8{,}31 \cdot 400}{0{,}02} = 831\,000$ Па $= 831$ кПа.

Ответ: 831

ЕГЭ, задание 7Пример 2

Кислород в сосуде объёмом

33{,}2

л при давлении

150

кПа и температуре

127

°C. Определите массу газа в граммах, округлите до целого.

$m = \dfrac{pVM}{RT}$ , $M = 0{,}032$ кг/моль, $T = 400$ К.
$m = \dfrac{1{,}5 \cdot 10^5 \cdot 0{,}0332 \cdot 0{,}032}{8{,}31 \cdot 400} \approx 0{,}048$ кг $= 48$ г.

Ответ: 48

ЕГЭ, задание 7Пример 3

При сжатии объём идеального газа уменьшился в

2

раза, а давление увеличилось в

2

раза. Во сколько раз изменилась абсолютная температура?

$T \sim pV$ при постоянной массе: $\dfrac{T_2}{T_1} = 2 \cdot \dfrac12 = 1$ .
Температура не изменилась — процесс мог быть изотермическим.

Ответ: 1

ЕГЭ, задание 7Пример 4

В двух одинаковых баллонах при одинаковой температуре кислород под давлением

120

кПа и азот под давлением

150

кПа. Весь азот перекачали в баллон с кислородом при той же температуре. Каким стало давление смеси? Ответ в кПа.

Азот занял тот же объём при той же температуре — его парциальное давление осталось $150$ кПа.
Закон Дальтона: $p = 120 + 150 = 270$ кПа.

Ответ: 270

ЕГЭ, задание 7Пример 5

В резервуаре

20

кг азота при

300

К и давлении

10^5

Па. Чему равен объём резервуара? Ответ в м³ с точностью до десятых.

$V = \dfrac{mRT}{Mp} = \dfrac{20 \cdot 8{,}31 \cdot 300}{0{,}028 \cdot 10^5}$ .
$V \approx 17{,}8$ м³.

Ответ: 17,8

Главное

Уравнение Клапейрона: $\dfrac{pV}{T} = \text{const}$ для газа данной массы.
$R = 8{,}31$ Дж/(моль·К) — одна для всех газов; $R = kN_A$ .
Менделеев — Клапейрон: $pV = \dfrac{m}{M}RT = \nu RT$ ; $\rho = \dfrac{pM}{RT}$ .
Смесь газов — закон Дальтона; переменная масса — уравнение для каждого состояния.

Уравнение состояния идеального газа

Все уроки станции «Газовые законы»