Прямая, отрезок, луч, угол

Прямую на чертеже проводят по линейке, но изобразить можно лишь её часть: саму прямую представляем бесконечной в обе стороны.

Прямые обозначают малыми латинскими буквами ($a$, $b$, $p$), точки — большими ($A$, $B$, $C$). На рисунке точки $A$ и $B$ лежат на прямой $a$, а $C$ и $D$ — не лежат.

Запись $A \in a$ читается «точка $A$ лежит на прямой $a$», $C \notin a$ — «точка $C$ не лежит на прямой $a$».

Поэтому прямую, на которой отмечены точки $A$ и $B$, можно назвать двумя буквами: прямая $AB$ (или $BA$) — других прямых через эти точки нет.

Здесь и дальше «две точки», «две прямые» означают различные точки и прямые.

Если две прямые имеют общую точку, говорят, что они пересекаются: прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $O$. Прямые $p$ и $q$ не пересекаются.

Две прямые не могут иметь двух общих точек. Если бы общих точек было две, каждая прямая проходила бы через обе — а через две точки проходит только одна прямая.

Вывод: две прямые либо имеют ровно одну общую точку, либо не имеют общих точек вовсе.

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называют концами отрезка.

Отрезок с концами $A$ и $B$ обозначают $AB$ или $BA$. Он содержит точки $A$ и $B$ и все точки прямой $AB$, лежащие между ними.

Как линейкой провести отрезок длиннее самой линейки? Отмечаем $A$ и $B$ и точку $C$ между ними, сдвигаем линейку так, чтобы её левый край был у $C$, и отмечаем $D$. Точки $A$, $B$, $C$, $D$ лежат на одной прямой, отрезок $AD$ длиннее линейки.

На местности так же ставят вехи — шесты около $2$ м: каждую следующую ставят так, чтобы две предыдущие её закрывали от наблюдателя. Так прокладывают просеки, трассы дорог, линии электропередач.

Точка $O$ на прямой делит её на две части. Каждая часть называется лучом, исходящим из точки $O$, а точка $O$ — началом луча.

Луч обозначают малой буквой (луч $h$) или двумя большими: первая — начало, вторая — любая другая точка луча (луч $OA$). Запись $AO$ означала бы луч с началом в $A$ — это уже другой луч.

Угол — геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи — стороны угла, их общее начало — вершина.

Обозначения: $\angle hk$ (по сторонам), $\angle AOB$ (вершина — в середине), $\angle O$ (одной буквой, если других углов с вершиной $O$ на чертеже нет).

Угол называется развёрнутым, если обе его стороны лежат на одной прямой: каждая сторона — продолжение другой.

• Любой угол делит плоскость на две части. У неразвёрнутого угла одна из них — внутренняя область, другая — внешняя. У развёрнутого любую из двух частей можно считать внутренней.
• Фигуру из угла и его внутренней области тоже называют углом.
• Если луч выходит из вершины неразвёрнутого угла и проходит внутри него, он делит угол на два угла: луч $OC$ делит $\angle AOB$ на $\angle AOC$ и $\angle COB$.
• Развёрнутый угол $AOB$ делит на два угла любой луч $OC$, не совпадающий с $OA$ и $OB$.

1. а) Пусть точки идут в порядке $A$, $B$, $C$. Отрезки: $AB$, $BC$, $AC$ — каждая пара концов даёт отрезок.
2. б) Прямые $AB$, $BC$ и $AC$ — одна и та же прямая: через две точки проходит только одна прямая.
3. Ещё три прямые проходят через $D$: $AD$, $BD$, $CD$. Они разные, иначе $D$ лежала бы на прямой $ABC$.
4. Всего $1 + 3 = 4$ прямые.

1. а) Из точки пересечения выходят четыре луча. Соседние лучи образуют неразвёрнутые углы — их $4$. Противоположные лучи дают развёрнутые углы, их не считаем.
2. б) Каждая пара прямых даёт свою точку пересечения, и разные пары дают разные точки (в каждой точке пересекаются ровно две прямые).
3. Пар из четырёх прямых: $\dfrac{4 \cdot 3}{2} = 6$.

1. Если все три прямые проходят через одну точку, точка пересечения одна.
2. Иначе каждая пара прямых пересекается в своей точке: пар три — точки три.
3. Двух точек быть не может: тогда две пары пересекались бы в одной точке, а третья — в другой, но если две пары прямых проходят через одну точку, через неё проходят все три прямые.

• Через любые две точки проходит одна и только одна прямая.
• Две прямые имеют либо одну общую точку, либо ни одной.
• Отрезок — часть прямой между двумя точками; луч — часть прямой по одну сторону от точки.
• Угол — точка и два исходящих из неё луча; развёрнутый угол — стороны на одной прямой.