Сравнение и измерение отрезков и углов

Две фигуры, имеющие одинаковую форму и одинаковые размеры, называют равными.

Проверить равенство можно наложением: копируем первую фигуру на кальку и пытаемся совместить копию со второй фигурой — той или другой стороной кальки. Совместились — фигуры равны.

Дальше говорим о наложении самой фигуры, а не её копии.

Накладываем один отрезок на другой так, чтобы совпали концы $A$. Если совпали и другие концы — отрезки равны. Если нет, меньше тот отрезок, который составляет часть другого: $AC < AB$.

Точка отрезка, делящая его пополам, называется серединой отрезка. На чертеже равные отрезки отмечают одинаковыми засечками: $AC = CB$.

• Измерить отрезок — узнать, сколько раз в нём укладывается единица измерения (масштабный отрезок) и её части: десятые, сотые… Так получают длину — положительное число: $AB = 2$ см, $AC = 3{,}4$ см.
• Равные отрезки имеют равные длины; меньший отрезок имеет меньшую длину.
• Если точка $C$ делит отрезок $AB$ на два отрезка, то $AC + CB = AB$: $\ 3 + 2{,}7 = 5{,}7$ см.
• Длину отрезка называют также расстоянием между его концами. Запись $CD = k \cdot AB$ — отрезок $CD$ в $k$ раз длиннее $AB$.

• Международная единица — метр: примерно одна сорокамиллионная часть земного меридиана. $1$ м $= 100$ см, $1$ см $= 10$ мм.
• Расстояния между предметами в комнате меряют в метрах, между городами — в километрах; морская миля $= 1{,}852$ км; в астрономии — световой год, путь света за год.
• Старинные русские меры: аршин ($0{,}7112$ м), сажень ($2{,}1336$ м).
• Инструменты: масштабная линейка, штангенциркуль (точность $0{,}1$ мм), рулетка.

• Углы измеряют в градусах. Число, показывающее, сколько раз градус и его части укладываются в угле, — градусная мера угла. Прибор — транспортир.
• $\frac{1}{60}$ градуса — минута ($'$), $\frac{1}{60}$ минуты — секунда ($''$): $60^\circ 32' 17''$.
• Равные углы имеют равные градусные меры, меньший угол — меньшую.
• Развёрнутый угол равен $180^\circ$, неразвёрнутый угол меньше $180^\circ$.

• Прямой угол равен $90^\circ$. Его отмечают квадратиком.
• Острый угол меньше $90^\circ$.
• Тупой угол больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$.
• Развёрнутый угол равен $180^\circ$.

1. Если три точки лежат на одной прямой, одна из них лежит между двумя другими, и больший из трёх отрезков равен сумме двух других.
2. Больший отрезок — $AC = 5$ см, а $AB + BC = 3 + 4 = 7$ см $\ne 5$ см.
3. Значит, точки на одной прямой не лежат.

1. $AC = CB = 64 : 2 = 32$ см.
2. $D$ лежит на отрезке $CA$, так как $CD = 15 < 32 = CA$.
3. $BD = BC + CD = 32 + 15 = 47$ см; $\ DA = CA - CD = 32 - 15 = 17$ см.

1. а) Если $B$ лежит между $A$ и $C$: $AC = 12 + 13{,}5 = 25{,}5$ см. Если $A$ лежит между $B$ и $C$: $AC = 13{,}5 - 12 = 1{,}5$ см. $C$ между $A$ и $B$ быть не может: $BC > AB$.
2. б) Пусть отрезки $a$, $b$, $c$ ($b$ — средний): $a + b + c = 28$.
3. Между серединами крайних: $\dfrac a2 + b + \dfrac c2 = 16$, то есть $\dfrac{a + c}{2} + b = 16$.
4. $a + c = 28 - b$: $\ \dfrac{28 - b}{2} + b = 16 \Rightarrow 14 + \dfrac b2 = 16 \Rightarrow b = 4$.

1. Пусть $\angle BOC = x$, тогда $\angle AOC = x - 18^\circ$.
2. Градусные меры складываются: $x + (x - 18^\circ) = 78^\circ$, $\ 2x = 96^\circ$, $\ x = 48^\circ$.

• Равные фигуры совмещаются наложением; равные отрезки и углы имеют равные длины и градусные меры.
• Середина делит отрезок пополам, биссектриса — угол пополам.
• Точка делит отрезок: $AC + CB = AB$. Луч делит угол: $\angle AOC + \angle COB = \angle AOB$.
• Развёрнутый угол — $180^\circ$; прямой — $90^\circ$; острый меньше, тупой больше прямого.