Перпендикулярные прямые

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого: углы $1$ и $3$, углы $2$ и $4$.

Теорема. Вертикальные углы равны.

Доказательство. Угол $2$ смежный и с углом $1$, и с углом $3$. Значит, $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$ и $\angle 3 + \angle 2 = 180^\circ$, откуда $\angle 1 = 180^\circ - \angle 2 = \angle 3$. Равны градусные меры — равны и углы. Так же $\angle 2 = \angle 4$.

Две пересекающиеся прямые образуют четыре неразвёрнутых угла. Если один из них прямой, то и остальные прямые: смежный с прямым равен $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$, вертикальный с прямым — тоже $90^\circ$.

Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными, если они образуют четыре прямых угла.

Запись $AC \perp BD$ читается: «прямая $AC$ перпендикулярна к прямой $BD$». Проводят перпендикуляры чертёжным угольником и линейкой.

Утверждение. Две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются.

Доказательство. Пусть $AA_1 \perp PQ$ и $BB_1 \perp PQ$. Перегнём рисунок по прямой $PQ$. Прямые углы $1$ и $2$ равны, поэтому луч $PA$ наложится на луч $PA_1$, а луч $QB$ — на луч $QB_1$.

Если бы прямые $AA_1$ и $BB_1$ пересекались в точке $M$, она наложилась бы на точку $M_1$, тоже лежащую на обеих прямых. Тогда через $M$ и $M_1$ проходили бы две разные прямые — так не бывает. Значит, прямые не пересекаются.

1. а) $\angle 4 = \angle 2 = 117^\circ$ (вертикальные); $\angle 1 = 180^\circ - 117^\circ = 63^\circ$ (смежный с $\angle 2$); $\angle 3 = \angle 1 = 63^\circ$.
2. б) Два смежных угла в сумме дают $180^\circ$, значит, $114^\circ$ — сумма двух вертикальных углов: каждый $57^\circ$.
3. Два других угла: $180^\circ - 57^\circ = 123^\circ$.

1. Пусть $\angle AOB = 2\alpha$, $\angle BOC = 2\beta$ — смежные: $2\alpha + 2\beta = 180^\circ$.
2. Биссектриса $m$ делит $\angle AOB$ пополам, биссектриса $n$ — $\angle BOC$: угол между ними $\alpha + \beta$.
3. $\alpha + \beta = \dfrac{180^\circ}{2} = 90^\circ$ — биссектрисы смежных углов перпендикулярны.