Обратная пропорциональность. Гипербола

Функцию $y = \dfrac kx$, где $k$ — данное не равное нулю число, называют обратной пропорциональностью. Она определена при всех $x \ne 0$.

Для положительных $x$, $y$, $k$ с ростом $x$ значение $y$ уменьшается. Для любых $x_1, x_2 \ne 0$: $\ x_1 y_1 = k = x_2 y_2$, откуда $\dfrac{x_1}{x_2} = \dfrac{y_2}{y_1}$ — значения обратно пропорциональны аргументам.

Пример: время $t$ на путь $s = 120$ км при скорости $v$: $\ t = \dfrac{120}{v}$.

• Гипербола не пересекает оси: $x \ne 0$ и $\dfrac kx \ne 0$.
• 1) Если $x > 0$, то $y > 0$; если $x < 0$, то $y < 0$ — ветви в I и III четвертях.
• 2) Убывает на $(-\infty;\ 0)$ и на $(0;\ +\infty)$.
• 3) $y \to +\infty$ при $x \to 0$, $x > 0$; $\ y \to 0$ при $x \to \pm\infty$; $\ y \to -\infty$ при $x \to 0$, $x < 0$.
• 4) Нечётная: график симметричен относительно начала координат.
• 5) Непрерывна на каждом из промежутков $(-\infty;\ 0)$ и $(0;\ +\infty)$.

• Возьмите точку гиперболы с целыми координатами $(x_0;\ y_0)$: $\ k = x_0 y_0$.
• Знак $k$ — по четвертям: I и III — плюс, II и IV — минус.
• Чем дальше ветви от осей, тем больше $|k|$: гипербола $y = \dfrac{8}{x}$ проходит через $(2;\ 4)$, а $y = \dfrac{1}{8x}$ — через $\left(\dfrac12;\ \dfrac14\right)$, вплотную к осям.

1. а) $a = -\dfrac{30}{6} = -5$.
2. б) $-4 = \dfrac{20}{b}$, $\ b = -5$.
3. в) $k = x_0 y_0 = 6 \cdot 7 = 42$.

1. А) $k = 8 > 0$ — ветви в I и III четвертях: только рисунок 2.
2. Б) и В) $k < 0$ — II и IV четверти: рисунки 1 и 3. У Б $|k| = \dfrac18$ — ветви прижаты к осям, рисунок 1; у В $|k| = 8$ — рисунок 3 (точка $(2;\ -4)$).

• $y = \dfrac kx$ ($k \ne 0$) — обратная пропорциональность, график — гипербола, $x \ne 0$, $y \ne 0$.
• $k > 0$ — I и III четверти, функция убывает на каждом промежутке; $k < 0$ — II и IV, возрастает.
• Функция нечётная: гипербола симметрична относительно начала координат.
• $k = x_0 y_0$ для любой точки графика.