Дробно-линейная функция

Если $A$ — точка графика $y = \dfrac4x$, а $B$ — точка графика $y = \dfrac4x - 2$ с той же абсциссой, то $B$ на $2$ ниже $A$.

Весь график сдвигается на $2$ вниз. Прямая $y = 0$, к которой приближались ветви, переходит в прямую $y = -2$.

Если $A$ — точка графика $y = -\dfrac3x$, а $B$ — точка графика $y = \dfrac{-3}{x - 2}$ с той же ординатой, то абсцисса $B$ на $2$ больше.

График сдвигается на $2$ вправо; функция не определена при $x = 2$ — вертикальная прямая $x = 2$ заменяет ось $y$.

Прямые $x = x_0$ и $y = y_0$, к которым неограниченно приближаются ветви, называют асимптотами гиперболы. Точка $(x_0;\ y_0)$ — её центр симметрии.

1. Выделяем целую часть: $\dfrac{2x - 5}{x - 1} = \dfrac{2(x - 1) - 3}{x - 1} = \dfrac{-3}{x - 1} + 2$.
2. Строим $y = -\dfrac3x$ (ветви во II и IV четвертях) и сдвигаем на $1$ вправо и на $2$ вверх.
3. Асимптоты $x = 1$ и $y = 2$. Контрольные точки: $y(0) = 5$, и $y = 0$ при $x = 2{,}5$.

1. Горизонтальная асимптота $y = -1$, значит, $a = -1$.
2. По графику $f(1) = 3$: $\ \dfrac k1 - 1 = 3$, $\ k = 4$.
3. $f\left(\dfrac13\right) = \dfrac{4}{1/3} - 1 = 12 - 1 = 11$.

1. Горизонтальная асимптота $y = -1$: $\ c = -1$. Вертикальная $x = -1$: $\ b = 1$.
2. $f(-4) = 0$: $\ \dfrac{a}{-3} - 1 = 0$, $\ a = -3$.
3. $f(4) = \dfrac{-3}{5} - 1 = -1{,}6$.

1. $\dfrac{kx + a}{x + b} = k + \dfrac{a - kb}{x + b}$: горизонтальная асимптота $y = k$, вертикальная $x = -b$.
2. По графику $k = 2$, $\ b = -3$.
3. $f(4) = 4$: $\ \dfrac{8 + a}{4 - 3} = 4$, $\ a = -4$.

1. $\dfrac{x - 3}{x(x - 3)} = \dfrac1x$ при $x \ne 3$ (и $x \ne 0$). График — гипербола $y = \dfrac1x$ с выколотой точкой $\left(3;\ \dfrac13\right)$.
2. Прямая $y = kx$ проходит через начало координат. При $k > 0$ она пересекает гиперболу в двух симметричных точках, при $k \le 0$ — не пересекает.
3. Ровно одна точка — когда одна из двух точек пересечения выколота: прямая проходит через $\left(3;\ \dfrac13\right)$: $\ \dfrac13 = 3k$, $\ k = \dfrac19$.