Функции и их графики

Если каждому числу $x$ из множества $X$ по некоторому закону поставлено в соответствие единственное число $y$, то $y$ — функция от $x$, определённая на множестве $X$: $\ y = f(x)$, $x \in X$. Число $x$ — аргумент, $X$ — область определения, $f(x_0)$ — значение функции в точке $x_0$.

• Пусть $y = F(u)$ определена на множестве $G$, а $u = \varphi(x)$ — на $X$, и все значения $\varphi$ лежат в $G$. Тогда $y = F(\varphi(x))$ — сложная функция (суперпозиция $\varphi$ и $F$). Пример: $y = 2^u$, $u = x^3$ дают $y = 2^{x^3}$.
• Основные элементарные функции: $x^n$, $x^{-n}$, $\sqrt[n]{x}$, $x^{\alpha}$, $x^{-\alpha}$, $\sin x$, $\cos x$, $\operatorname{tg} x$, $\operatorname{ctg} x$, $a^x$, $\log_a x$ ($a > 0$, $a \ne 1$).
• Элементарные функции получаются из основных конечным числом арифметических действий и суперпозиций: $\sin x + \cos x$, $\ -\sin^2(x - 5)$, $\ \log_3(\sin x + 2)$.

• Если функция задана формулой без оговорок, её рассматривают на полной области определения (области существования) — множестве всех $x$, при которых формула даёт действительное число. Обозначения: $D(f)$ или $X$.
• Область изменения (множество значений) $E(f)$ — множество всех чисел $f(x)$, $x \in D(f)$.
• $y = \sqrt{\log_2 \sin x}$: $\log_2\sin x \ge 0$ только при $\sin x = 1$, поэтому $D = \left\{\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}\right\}$, $E = \{0\}$.
• $y = \sqrt{1 - x^2}$: $D = [-1;\ 1]$. Из $-1 \le x \le 1$ следует $0 \le 1 - x^2 \le 1$, значит, $E = [0;\ 1]$.
• $y = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$: $D = (-1;\ 1)$; там $0 < \sqrt{1 - x^2} \le 1$, поэтому $E = [1;\ +\infty)$.

• $f$ ограничена снизу на $X$, если есть число $A$: $A \le f(x)$ для всех $x \in X$; сверху — если есть $B$: $f(x) \le B$; ограничена — если есть $M > 0$: $|f(x)| \le M$ для всех $x \in X$.
• $f$ принимает в точке $x_0 \in X$ наименьшее значение, если $f(x_0) \le f(x)$ для всех $x \in X$; наибольшее — если $f(x_0) \ge f(x)$.
• $y = x^2$ на $\mathbb{R}$: наименьшее $0$ при $x = 0$, наибольшего нет, сверху не ограничена. $\ y = 2^x$ на $(-\infty;\ 0]$: наибольшее $1$ при $x = 0$, наименьшего нет, но ограничена снизу числом $0$.
• $y = \log_2 x$ на $(0;\ +\infty)$ — ни наибольшего, ни наименьшего. $\ y = \{x\} = x - [x]$ (дробная часть): наименьшее $0$ в целых точках, наибольшего нет, ограничена сверху числом $1$.

• $f$ с областью определения $X$ чётная, если для любого $x \in X$ число $-x \in X$ и $f(-x) = f(x)$: $\ \cos x$, $x^2$, $\dfrac{1}{1 + x^2}$. График симметричен относительно оси $Oy$: точки $(x;\ f(x))$ и $(-x;\ f(x))$ симметричны.
• Нечётная, если $-x \in X$ и $f(-x) = -f(x)$: $\ x$, $\sin x$, $x^3$, $\dfrac1x$, $\operatorname{tg} x$. График симметричен относительно начала координат.
• Бывают ни чётные, ни нечётные: $2x + 3$, $x^2 + 2x + 3$, $\sqrt x$, $\lg x$, $2^x$. Функция $f(x) = 0$ — и чётная, и нечётная.
• Первое условие обязательно: область определения симметрична относительно нуля. $y = x^2$ на $[-1;\ 2]$ не чётная.

$f$ с областью определения $X$ периодическая, если есть число $T \ne 0$, такое, что для любого $x \in X$ числа $x + T$ и $x - T$ лежат в $X$ и $f(x + T) = f(x)$. $T$ — период; наименьший положительный период — главный.

• Тогда и $f(x - T) = f(x)$: $\ f(x) = f((x - T) + T) = f(x - T)$. Если $T$ — период, то и $-T$ — период, поэтому достаточно положительных.
• $\sin x$ — главный период $2\pi$; $\operatorname{tg} x$ — $\pi$; $\{x\}$ — $1$. $\ y = \sin\sqrt x$ непериодична: при $x = 0$ число $0 - T$ не лежит в $D = [0;\ +\infty)$.
• Константа $y = C$ имеет периодом любое $T \ne 0$, но главного периода нет. Функция Дирихле ($1$ в рациональных точках, $0$ в иррациональных) — периоды все рациональные $T \ne 0$, главного нет.

• Утверждение. Если $T$ — период функции $f(x)$, то $\dfrac{T}{\alpha}$ — период функции $f(\alpha x)$, $\alpha \ne 0$.
• Доказательство: $f\left(\alpha\left(x + \dfrac{T}{\alpha}\right)\right) = f(\alpha x + T) = f(\alpha x)$. Поэтому $\sin\alpha x$ имеет период $\dfrac{2\pi}{|\alpha|}$, $\operatorname{tg}\alpha x$ — период $\dfrac{\pi}{|\alpha|}$.
• Сумма, разность, произведение и частное функций с общей областью определения и общим периодом $T$ имеют тот же период $T$: $\sin x + \sin 2x - \sin 3x$ — период $2\pi$.
• Но главный период может уменьшиться: у $\sin x$ и $\cos x$ главный период $2\pi$, а $\sin x\cos x = \frac12\sin 2x$ — главный период $\pi$; при этом $\sin x + \cos x = \sqrt2\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ — главный период $2\pi$.

1. Период $\sin 3x$ — $\dfrac{2\pi}{3}$, период $\cos 8x$ — $\dfrac{2\pi}{8} = \dfrac{\pi}{4}$. Периодами будут и их кратные: $\dfrac{2\pi}{3}k$ и $\dfrac{\pi}{4}m$.
2. Общий период суммы — наименьшее число, кратное обоим: $\dfrac{2\pi}{3}\cdot 3 = 2\pi$ и $\dfrac{\pi}{4}\cdot 8 = 2\pi$.
3. Проверка: $\sin 3(x + 2\pi) + \cos 8(x + 2\pi) = \sin(3x + 6\pi) + \cos(8x + 16\pi) = \sin 3x + \cos 8x$.

• $f$ возрастает на промежутке $X$, если для любых $x_1 < x_2$ из $X$ верно $f(x_1) < f(x_2)$; убывает, если $f(x_1) > f(x_2)$. Возрастающие и убывающие — строго монотонные функции.
• $x^2$ возрастает на $[0;\ +\infty)$ и убывает на $(-\infty;\ 0]$; $\sin x$ возрастает на $\left[-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right]$; $\left(\frac12\right)^x$ убывает на $\mathbb{R}$.
• Сумма возрастающих на $X$ функций возрастает: из $x_1 < x_2$ следует $f(x_1) < f(x_2)$, $g(x_1) < g(x_2)$ — сложим. Поэтому $\sqrt x + x^8$ возрастает на $[0;\ +\infty)$, $\log_2 x + 2^x$ — на $(0;\ +\infty)$.
• Неубывающая: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \le f(x_2)$ (пример $y = x + |x|$); невозрастающая: $f(x_1) \ge f(x_2)$ (пример $y = x - |x|$). Все четыре вида — монотонные функции.

• Нуль функции — число $x_0$ из области существования, при котором $f(x_0) = 0$: корень уравнения $f(x) = 0$.
• Промежуток знакопостоянства — промежуток, на котором все значения функции одного знака. Найти их — решить неравенства $f(x) > 0$ и $f(x) < 0$.
• $y = \dfrac{(x + 1)(x - 3)}{(x + 2)(x - 4)}$ определена на $(-\infty;\ -2) \cup (-2;\ 4) \cup (4;\ +\infty)$, нули $-1$ и $3$. Знаки — методом интервалов: $+$, $-$, $+$, $-$, $+$.
• $y = \ln x$: определена на $(0;\ +\infty)$, нуль $x_0 = 1$, отрицательна на $(0;\ 1)$, положительна на $(1;\ +\infty)$; $y = e^x$ нулей не имеет и всюду положительна.

• Исследовать функцию — ответить на вопросы: 1) область определения; 2) область изменения; 3) ограниченность; 4) наибольшее и наименьшее значения; 5) чётность; 6) периодичность; 7) промежутки возрастания и убывания; 8) промежутки знакопостоянства.
• Для построения графика полезны ещё точки пересечения с осями. График функции — множество тех и только тех точек $(x;\ y)$ плоскости, для которых $y = f(x)$.
• Функцию называют непрерывной на промежутке, если её график там — непрерывная линия (рисуется без отрыва карандаша): малому изменению $x$ соответствует малое изменение $y$. Строгое определение — в § 2.
• Есть функции, график которых нарисовать нельзя, — например, функция Дирихле.

• На чертежах синий график — $y = x^2$ и $y = 2^x$, красный — преобразованный.
• $y = -f(x)$: график отражается относительно оси $Ox$ — точки $(x;\ f(x))$ и $(x;\ -f(x))$ симметричны. $\ y = f(-x)$: отражение относительно оси $Oy$.
• $y = f(x - a)$: сдвиг вдоль $Ox$ на $|a|$ — вправо при $a > 0$, влево при $a < 0$. Доказательство: если $M_0(x_0;\ y_0)$ на графике $f$, то $M_1(x_0 + a;\ y_0)$ на графике $f(x - a)$, так как $y_0 = f((x_0 + a) - a)$.
• $y = f(x) + B$: сдвиг вдоль $Oy$ на $|B|$ — вверх при $B > 0$, вниз при $B < 0$: точка $M_0(x_0;\ y_0)$ переходит в $M_1(x_0;\ y_0 + B)$.

• $y = |f(x)|$: где $f(x) \ge 0$, график не меняется; где $f(x) < 0$, его часть отражается относительно $Ox$. Ниже оси $Ox$ точек нет.
• $y = f(|x|)$ — чётная функция: $f(|-x|) = f(|x|)$. При $x \ge 0$ график совпадает с графиком $f$; правую часть (на оси $Oy$ и правее) оставляем и отражаем относительно $Oy$, левую отбрасываем.

1. $\varphi(x) = -\dfrac{4}{x + 1} + 2$ — гипербола $y = -\dfrac4x$, сдвинутая на 1 влево и на 2 вверх; асимптоты $x = -1$, $y = 2$; $\varphi(0) = -2$, нуль $x = 1$.
2. $y = \varphi(|x|)$: оставляем часть графика при $x \ge 0$ (от точки $(0;\ -2)$ вверх к асимптоте $y = 2$) и отражаем её относительно $Oy$.
3. $y = |\varphi(|x|)|$: часть под осью $Ox$ (при $|x| < 1$) отражаем вверх. Получается «галочка» с вершинами $(-1;\ 0)$, $(1;\ 0)$ и пиком $(0;\ 2)$, ветви стремятся к $y = 2$.

Три шага: гипербола $\varphi(x)$; правая половина и её отражение — $\varphi(|x|)$; отражение части под осью $Ox$ — $|\varphi(|x|)|$. Нули $x = \pm 1$, $y(0) = 2$, при $|x| \to \infty$ значения стремятся к $2$ снизу.

• $y = 2^{\sin x}$: период $2\pi$; на $\left[-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right]$ $\sin x$ растёт от $-1$ до $1$, и $2^{\sin x}$ растёт от $\frac12$ до $2$; на $\left[\frac{\pi}{2};\ \frac{3\pi}{2}\right]$ убывает от $2$ до $\frac12$.
• $y = \log_2\sin x$: определена, где $\sin x > 0$; на $\left(0;\ \frac{\pi}{2}\right]$ растёт от $-\infty$ до $0$, на $\left[\frac{\pi}{2};\ \pi\right)$ убывает от $0$ до $-\infty$; на $[\pi;\ 2\pi]$ не определена.
• Сумма $f + g$ определена на пересечении областей; её график — сложение ординат точек с одной абсциссой ($y = x + \sin x$). Произведение — умножение ординат ($y = x\sin x$).
• Кусочно-заданная функция строится на каждом промежутке по своей формуле: $|x|$, $\operatorname{sgn} x$ ($1$ при $x > 0$, $0$ при $x = 0$, $-1$ при $x < 0$).

1. Выделим полный квадрат: $x^2 - 6x + 13 = (x - 3)^2 + 4 \ge 4$, равенство при $x = 3$.
2. $y = \sqrt u$ возрастает, поэтому сложная функция наименьшая там же, где подкоренное выражение: $y \ge \sqrt4 = 2$.

1. $-7 - 6x - x^2 = 2 - (x + 3)^2 \le 2$, равенство при $x = -3$.
2. $y = 3^u$ возрастает: наибольшее значение $3^2 = 9$.

1. $t = \cos x$; при $x \in [-\pi;\ \pi]$ значение $t$ пробегает весь отрезок $[-1;\ 1]$.
2. $t^2 - 2t + 5 = (t - 1)^2 + 4$ на $[-1;\ 1]$ убывает: от $8$ до $4$. Наименьшее значение знаменателя $4$ — при $t = 1$, то есть $x = 0$.
3. $y = \dfrac1u$ убывает при $u > 0$, поэтому наибольшее значение $y$ равно $\dfrac14$.

• Исследование функции: область определения и значений, ограниченность, наибольшее и наименьшее, чётность, период, монотонность, знаки.
• Период $f(\alpha x)$ — $\dfrac{T}{|\alpha|}$; общий период суммы — общее кратное периодов.
• $-f(x)$, $f(-x)$ — отражения; $f(x - a) + B$ — сдвиги; $Bf(x)$, $f(kx)$ — растяжения; $x = f(y)$ — отражение относительно $y = x$.
• $|f(x)|$ — отразить вверх часть под $Ox$; $f(|x|)$ — отразить правую часть влево.
• Наибольшее и наименьшее значения сложной функции: монотонная внешняя функция переносит оценку внутренней.