Функции · 11 класс · урок 3 из 3 · Никольский, «Алгебра и начала анализа 11», § 1–3, § 3

Обратные функции

Сначала нужно знать: Функции и их графики, непрерывность и монотонность
Зачем этот урок: ЕГЭ №12, 13: логарифм и аркфункции — обратные к степени и тригонометрическим функциям
Дальше: Производная: производная обратной функции, логарифма и аркфункций

Функции, пределы, непрерывность · урок 3

Обратные функции

Взаимно обратные функции, графики, обратные тригонометрические функции

Понятие обратной функции

Тело падает с высоты $H$ : путь $s = \dfrac{gt^2}{2}$ , $t \in \left[0;\ \sqrt{\frac{2H}{g}}\right]$ . По времени однозначно находится путь, а по пути — время: $t = \sqrt{\dfrac{2s}{g}}$ , $s \in [0;\ H]$ . Вторая функция — обратная к первой.
$y = x^2$ , $x \in [0;\ 2]$ : когда $x$ растёт от $0$ до $2$ , $y$ растёт от $0$ до $4$ и принимает каждое значение из $[0;\ 4]$ ровно один раз — разным $x$ соответствуют разные $y$ .
Значит, $x$ — функция от $y$ : $x = \sqrt y$ , $y \in [0;\ 4]$ . Графики $y = x^2$ и $x = \sqrt y$ совпадают — это одна линия.

Когда обратная функция существует

Если функция $y = f(x)$ непрерывна и строго монотонна на промежутке $J$ и её область изменения — промежуток $J_1$ , то у неё есть обратная функция $x = \varphi(y)$ , $y \in J_1$ . Её находят, выражая $x$ через $y$ .

Строгая монотонность — достаточное условие существования обратной функции у непрерывной функции. Обратная функция тоже непрерывна.
Пример. $y = x^3$ непрерывна и возрастает на $\mathbb{R}$ , область изменения $\mathbb{R}$ . Выразим $x$ : $x = \sqrt[3]{y}$ , $y \in \mathbb{R}$ .
$y = x^2$ на всей оси обратной не имеет: значению $4$ соответствуют два числа $\pm 2$ . На $[0;\ +\infty)$ обратная $\sqrt x$ , на $(-\infty;\ 0]$ — $-\sqrt x$ .

Привычная запись. Графики

В записи $x = \varphi(y)$ аргумент — $y$ . Чтобы аргумент снова звался $x$ , меняем буквы местами: $y = \varphi(x)$ , $x \in J_1$ . Обычно обратной функцией называют именно её.
Второй способ: в формуле $y = f(x)$ заменить $x$ на $y$ , а $y$ на $x$ : $x = f(y)$ , — и выразить $y$ через $x$ .
График $x = f(y)$ симметричен графику $y = f(x)$ относительно прямой $y = x$ (§ 1, п. 1.6). Поэтому графики функции и обратной к ней в привычной записи симметричны относительно $y = x$ : $y = x^2$ , $x \ge 0$ , и $y = \sqrt x$ .

Взаимно обратные функции

Пусть $f$ непрерывна и возрастает на $[a;\ b]$ , $c = f(a)$ , $d = f(b)$ . Обратная $\varphi$ задана на $[c;\ d]$ , и для $\varphi$ обратной будет $f$ . Поэтому $f$ и $\varphi$ называют взаимно обратными.
Свойства: $\varphi(f(x)) = x$ , $x \in [a;\ b]$ ; $\ f(\varphi(y)) = y$ , $y \in [c;\ d]$ . Область определения одной — область изменения другой.
Обратная к возрастающей непрерывной функции тоже возрастает и непрерывна; к убывающей — убывает.
Пары: $x^2$ ( $x \ge 0$ ) и $\sqrt x$ ; $\ x^2$ ( $x \le 0$ ) и $-\sqrt x$ ; $\ 3^x$ и $\log_3 x$ ; $\ x^{\frac32}$ и $x^{\frac23}$ на $[0;\ +\infty)$ .

Никольский, п. 3.1Пример 1

Найдите функцию, обратную к данной: а)

y = 3x + 1

; б)

y = 0{,}5\sqrt x

x \in [0;\ 25]

; в)

y = \log_5 x

x \in (0;\ 25)

а) $x = 3y + 1$ , откуда $y = \dfrac{x - 1}{3}$ , $x \in \mathbb{R}$ .
б) Функция возрастает, область изменения $[0;\ 2{,}5]$ . $x = 0{,}5\sqrt y$ , $\sqrt y = 2x$ , $y = 4x^2$ , $x \in [0;\ 2{,}5]$ .
в) Область изменения $(-\infty;\ 2)$ , так как $\log_5 25 = 2$ . $x = \log_5 y$ , $y = 5^x$ , $x \in (-\infty;\ 2)$ .

Ответ: а) $y = \dfrac{x - 1}{3}$ ; б) $y = 4x^2$ , $x \in [0;\ 2{,}5]$ ; в) $y = 5^x$ , $x \in (-\infty;\ 2)$

Функция y = arcsin x

Каждому $x \in [-1;\ 1]$ ставится в соответствие $\arcsin x$ — число из $\left[-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right]$ , синус которого равен $x$ . Это функция, обратная к $y = \sin x$ на $\left[-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right]$ , где синус непрерывен и возрастает.
Свойства: 1) ограничена; 2) наименьшее значение $-\frac{\pi}{2}$ при $x = -1$ , наибольшее $\frac{\pi}{2}$ при $x = 1$ ; 3) нечётная: $\arcsin(-a) = -\arcsin a$ ; 4) график пересекает оси только в $(0;\ 0)$ ; 5) возрастает на $[-1;\ 1]$ ; 6) непрерывна на $[-1;\ 1]$ .
Свойства 4–6 следуют из того, что $\arcsin$ обратна к непрерывной возрастающей функции. График — отражение графика синуса на $\left[-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right]$ относительно прямой $y = x$ .

Функция y = arccos x

$y = \arccos x$ , $x \in [-1;\ 1]$ : обратная к $y = \cos x$ на $[0;\ \pi]$ , где косинус непрерывен и убывает. Область изменения $[0;\ \pi]$ .
Свойства: 1) ограничена; 2) наибольшее значение $\pi$ при $x = -1$ , наименьшее $0$ при $x = 1$ ; 3) ни чётная, ни нечётная: $\arccos(-a) = \pi - \arccos a$ ; 4) пересекает оси в точках $\left(0;\ \frac{\pi}{2}\right)$ и $(1;\ 0)$ ; 5) убывает на $[-1;\ 1]$ ; 6) непрерывна.

Функции y = arctg x и y = arcctg x

$y = \operatorname{arctg} x$ , $x \in \mathbb{R}$ : обратная к $\operatorname{tg} x$ на $\left(-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right)$ . Ограничена, наибольшего и наименьшего значений нет, нечётная, проходит через $(0;\ 0)$ , возрастает и непрерывна на $\mathbb{R}$ ; значения — интервал $\left(-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right)$ .
$y = \operatorname{arcctg} x$ , $x \in \mathbb{R}$ : обратная к $\operatorname{ctg} x$ на $(0;\ \pi)$ . Ограничена, наибольшего и наименьшего нет, ни чётная, ни нечётная, пересекает ось $Oy$ в $\left(0;\ \frac{\pi}{2}\right)$ , убывает и непрерывна; значения — $(0;\ \pi)$ .
$\arcsin$ , $\arccos$ , $\operatorname{arctg}$ , $\operatorname{arcctg}$ — основные обратные тригонометрические функции; их тоже относят к основным элементарным функциям.

Никольский, п. 3.3Пример 2

Найдите функцию, обратную к функции: а)

y = \sin x

x \in \left[\dfrac{\pi}{2};\ \dfrac{3\pi}{2}\right]

; б)

y = \sin x

x \in \left[-\dfrac{3\pi}{2};\ -\dfrac{\pi}{2}\right]

а) На этом отрезке синус непрерывен и убывает от $1$ до $-1$ — обратная есть. Из $\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{3\pi}{2}$ следует $-\frac{\pi}{2} \le \pi - x \le \frac{\pi}{2}$ , и $\sin x = \sin(\pi - x)$ .
По определению арксинуса $\pi - x = \arcsin y$ , $x = \pi - \arcsin y$ ; в привычной записи $y = \pi - \arcsin x$ , $x \in [-1;\ 1]$ .
б) Синус возрастает от $-1$ до $1$ . $-\pi - x \in \left[-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right]$ и $\sin(-\pi - x) = -\sin(\pi + x) = \sin x$ .
Значит, $-\pi - x = \arcsin y$ , $x = -\pi - \arcsin y$ ; в привычной записи $y = -\pi - \arcsin x$ .

Ответ: а) $y = \pi - \arcsin x$ ; б) $y = -\pi - \arcsin x$ , $x \in [-1;\ 1]$

Тождества с обратными тригонометрическими функциями

1. $\arcsin x + \arccos x = \dfrac{\pi}{2}$ при $x \in [-1;\ 1]$ . Доказательство: $0 \le \arccos x \le \pi$ , значит, $\frac{\pi}{2} - \arccos x \in \left[-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right]$ , и $\sin\left(\frac{\pi}{2} - \arccos x\right) = \cos(\arccos x) = x$ . По определению $\frac{\pi}{2} - \arccos x = \arcsin x$ .
2. $\sin(\arcsin x) = x$ ; $\ \cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2}$ : если $\alpha = \arcsin x$ , то $\alpha \in \left[-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right]$ , $\cos\alpha \ge 0$ , $\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha}$ .
Отсюда $\operatorname{tg}(\arcsin x) = \dfrac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$ при $|x| < 1$ и $\operatorname{ctg}(\arcsin x) = \dfrac{\sqrt{1 - x^2}}{x}$ при $0 < |x| \le 1$ .
Так же $\operatorname{arctg} x + \operatorname{arcctg} x = \dfrac{\pi}{2}$ , $\ \sin(\arccos x) = \sqrt{1 - x^2}$ , $\ \cos(\operatorname{arctg} x) = \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$ .

Никольский, п. 3.4Пример 3

Вычислите

\cos\left(\arcsin\dfrac45 + \arcsin\dfrac{5}{13} + \arcsin\dfrac{16}{65}\right)

$\alpha = \arcsin\frac45$ , $\beta = \arcsin\frac{5}{13}$ , $\gamma = \arcsin\frac{16}{65}$ лежат в $\left(0;\ \frac{\pi}{2}\right)$ , косинусы положительны: $\cos\alpha = \frac35$ , $\cos\beta = \frac{12}{13}$ , $\cos\gamma = \frac{63}{65}$ .
$\cos(\alpha + \beta + \gamma) = \cos\alpha(\cos\beta\cos\gamma - \sin\beta\sin\gamma) - \sin\alpha(\sin\beta\cos\gamma + \cos\beta\sin\gamma)$ .
$= \dfrac35\left(\dfrac{12}{13}\cdot\dfrac{63}{65} - \dfrac{5}{13}\cdot\dfrac{16}{65}\right) - \dfrac45\left(\dfrac{5}{13}\cdot\dfrac{63}{65} + \dfrac{12}{13}\cdot\dfrac{16}{65}\right) = \dfrac35\cdot\dfrac{676}{845} - \dfrac45\cdot\dfrac{507}{845} = \dfrac{2028 - 2028}{4225}$ .

Ответ: $0$

Никольский, п. 3.4Пример 4

Вычислите

\cos\left(\arccos\dfrac45 + \arccos\dfrac{12}{13} + \arccos\dfrac35\right)

$\alpha = \arccos\frac45$ , $\beta = \arccos\frac{12}{13}$ , $\gamma = \arccos\frac35$ лежат в $\left(0;\ \frac{\pi}{2}\right)$ : $\sin\alpha = \frac35$ , $\sin\beta = \frac{5}{13}$ , $\sin\gamma = \frac45$ .
$\cos\alpha = \sin\gamma$ и $\sin\alpha = \cos\gamma$ , значит, $\alpha + \gamma = \frac{\pi}{2}$ (это $\arccos\frac45 + \arcsin\frac45$ ).
$\cos\left(\frac{\pi}{2} + \beta\right) = -\sin\beta = -\dfrac{5}{13}$ .

Ответ: $-\dfrac{5}{13}$

Главное

Непрерывная строго монотонная функция имеет обратную; найти её — выразить $x$ через $y$ и поменять буквы.
Область определения обратной — область изменения исходной, и наоборот; $\varphi(f(x)) = x$ , $f(\varphi(y)) = y$ .
Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой $y = x$ .
$\arcsin$ : $[-1;\ 1] \to \left[-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right]$ , возрастает; $\arccos$ : $[-1;\ 1] \to [0;\ \pi]$ , убывает; $\operatorname{arctg}$ : $\mathbb{R} \to \left(-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right)$ ; $\operatorname{arcctg}$ : $\mathbb{R} \to (0;\ \pi)$ .
$\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$ , $\cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2}$ .

Обратные функции

Все уроки станции «Функции, пределы, непрерывность»