Предел функции и непрерывность

Функции, пределы, непрерывность · урок 2

Пределы на бесконечности и в точке, замечательные пределы, разрывы

Предел функции на бесконечности

$x$	$1$	$2$	$10$	$10^2$	$10^5$	$10^{10}$
$\dfrac{1}{x^3}$	$1$	$\frac18$	$\frac{1}{1000}$	$\frac{1}{10^6}$	$\frac{1}{10^{15}}$	$\frac{1}{10^{30}}$
$x^3$	$1$	$8$	$10^3$	$10^6$	$10^{15}$	$10^{30}$

Значения $\dfrac{1}{x^3}$ стремятся к нулю при неограниченном возрастании $x$ : $\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{1}{x^3} = 0$ . Значения $x^3$ неограниченно растут: $\lim\limits_{x \to +\infty} x^3 = +\infty$ , а $\lim\limits_{x \to -\infty} x^3 = -\infty$ .
Пусть $f$ определена при всех $x > M$ . Предел $f$ при $x \to +\infty$ равен $A$ , если при неограниченном возрастании $x$ значения $f(x)$ стремятся к $A$ : $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = A$ . Так же — при $x \to -\infty$ . Здесь $A$ — число, $+\infty$ или $-\infty$ .
$\lim\limits_{x \to \pm\infty}\dfrac1x = 0$ ; $\ \lim\limits_{x \to \pm\infty}\left(\dfrac{1}{x - 1} + 2\right) = 2$ ; $\ \lim\limits_{x \to +\infty} x^5 = +\infty$ , $\lim\limits_{x \to -\infty} x^5 = -\infty$ .

Предел функции в точке

Пусть $f$ определена в окрестности $a - \delta < x < a + \delta$ точки $a$ , кроме, быть может, самой точки $a$ . Предел $f$ в точке $a$ равен $A$ , если при $x \to a$ значения $f(x) \to A$ : $\lim\limits_{x \to a} f(x) = A$ .
Значение в самой точке $a$ на предел не влияет: $y = x^0$ не определена при $x = 0$ , но $\lim\limits_{x \to 0} x^0 = 1$ .
$\lim\limits_{x \to 2} x^2 = 4$ ; $\ \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{1}{x^2} = +\infty$ ; $\ \lim\limits_{x \to 2}\dfrac{1}{|x - 2|} = +\infty$ ; $\ \lim\limits_{x \to 2}\left(-\dfrac{1}{|x - 2|}\right) = -\infty$ .
Запись $x \to \infty$ означает $|x| \to +\infty$ ; $\lim f(x) = \infty$ означает $\lim |f(x)| = +\infty$ : $\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac1x = 0$ , $\lim\limits_{x \to 0}\dfrac1x = \infty$ . Знаки $\pm\infty$ — не числа, слово «равен» для них — сокращение речи.

Односторонние пределы

Пусть $f$ определена при $a < x < a + \delta$ . Правый предел в точке $a$ равен $A$ , если при $x \to a$ , $x > a$ , значения $f(x) \to A$ : $\lim\limits_{x \to a,\ x > a} f(x) = A$ . Так же левый предел — при $x \to a$ , $x < a$ .
Левый и правый пределы могут не совпадать: у $\operatorname{sgn} x$ в точке $0$ правый предел $1$ , левый $-1$ ; у $\dfrac1x$ правый $+\infty$ , левый $-\infty$ ; у $\operatorname{tg} x$ в точке $\frac{\pi}{2}$ левый $+\infty$ , правый $-\infty$ .
Если левый и правый пределы в точке $a$ существуют и оба равны $A$ , то $\lim\limits_{x \to a} f(x) = A$ — это второе, равносильное определение предела в точке.

Первый замечательный предел

Теорема. $\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x} = 1$ .
Доказательство. Пусть $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ , $\angle AOC = \alpha$ на окружности радиуса $1$ . Тогда $BA = \sin\alpha$ , касательная $AD = \operatorname{tg}\alpha$ , дуга $AC = \alpha$ .
Дуга длиннее стягивающей хорды и короче объемлющей ломаной: $2\sin\alpha < 2\alpha < 2\operatorname{tg}\alpha$ . Делим на $2\sin\alpha > 0$ : $1 < \dfrac{\alpha}{\sin\alpha} < \dfrac{1}{\cos\alpha}$ , то есть $\cos\alpha < \dfrac{\sin\alpha}{\alpha} < 1$ .
При $\alpha \to 0$ число $\cos\alpha \to 1$ , и $\dfrac{\sin\alpha}{\alpha}$ , зажатое между $\cos\alpha$ и $1$ , тоже стремится к $1$ . При $x < 0$ замена $x = -u$ : $\dfrac{\sin(-u)}{-u} = \dfrac{\sin u}{u} \to 1$ . Левый и правый пределы равны $1$ .

График sin x / x. Второй замечательный предел

$\lim\limits_{x \to 0}(1 + x)^{\frac1x} = e$ , где $e \approx 2{,}71828\ldots$ — иррациональное число. Левый и правый пределы в нуле оба равны $e$ (доказательство в учебнике не приводится).
Замена $x = \dfrac1t$ : $\lim\limits_{t \to \infty}\left(1 + \dfrac1t\right)^t = e$ .
На графике $y = \dfrac{\sin x}{x}$ точка $(0;\ 1)$ выколота: в нуле функция не определена, но предел равен $1$ .
Следствия первого предела: $\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\operatorname{tg} x}{x} = \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x}\cdot\dfrac{1}{\cos x} = 1$ ; $\ \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sin kx}{kx} = 1$ .

Строгие определения предела

На языке ε–δ. $\lim\limits_{x \to a} f(x) = A$ , если $f$ определена в окрестности $a$ (кроме, быть может, $a$ ) и для любого $\varepsilon > 0$ найдётся $\delta > 0$ , такое, что $|f(x) - A| < \varepsilon$ для всех $x$ с $0 < |x - a| < \delta$ .
Пример: $\lim\limits_{x \to 1} 2^x = 2$ . Возьмём $\delta = \log_2\left(1 + \frac{\varepsilon}{2}\right)$ . При $|x - 1| < \delta$ : $2^x < 2\cdot 2^{\delta} = 2 + \varepsilon$ и $2^x > 2\cdot 2^{-\delta} = \dfrac{4}{2 + \varepsilon} > 2 - \varepsilon$ . Значит, $|2^x - 2| < \varepsilon$ .
На языке последовательностей. $\lim\limits_{x \to a} f(x) = A$ , если для любой последовательности $x_n \to a$ , $x_n \ne a$ , последовательность $f(x_n) \to A$ .
$y = \sin\dfrac1x$ не имеет предела при $x \to 0$ : для $x_k = \dfrac{2}{(2k - 1)\pi} \to 0$ значения $\sin\dfrac{1}{x_k}$ равны $1, -1, 1, -1, \ldots$ и ни к чему не стремятся.

Свойства пределов

Если $\lim\limits_{x \to a} f(x)$ и $\lim\limits_{x \to a}\varphi(x)$ — числа, то предел суммы, разности и произведения равен сумме, разности и произведению пределов, а предел частного — частному пределов, если $\lim\limits_{x \to a}\varphi(x) \ne 0$ .

$\lim\limits_{x \to a} C = C$ ; $\ \lim\limits_{x \to a}(C\varphi(x)) = C\lim\limits_{x \to a}\varphi(x)$ ; $\ \lim\limits_{x \to a}(f(x))^2 = \left(\lim\limits_{x \to a} f(x)\right)^2$ . Здесь $a$ — число, $+\infty$ , $-\infty$ или $\infty$ .
Если $f(x) \ne 0$ около $a$ : из $\lim f(x) = \infty$ следует $\lim\dfrac{1}{f(x)} = 0$ , из $\lim f(x) = 0$ следует $\lim\dfrac{1}{f(x)} = \infty$ .
$\lim\limits_{x \to x_0}(ax^2 + bx + c) = ax_0^2 + bx_0 + c$ ; $\ \lim\limits_{x \to 2}\dfrac{x^2 + 4}{x + 2} = \dfrac{4 + 4}{2 + 2} = 2$ — достаточно подставить, потому что предел знаменателя не нуль.
Числитель стремится к числу $\ne 0$ , знаменатель — к нулю: дробь стремится к $\infty$ . $\ \lim\limits_{x \to 3}\dfrac{x + 2}{x - 3} = \infty$ .

Неопределённость 0/0

$\lim\limits_{x \to 2}\dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$ : числитель и знаменатель стремятся к нулю, свойство частного не применить.
При $x \ne 2$ : $\dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = x + 2$ . Значение в самой точке $2$ на предел не влияет, поэтому $\lim\limits_{x \to 2}\dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim\limits_{x \to 2}(x + 2) = 4$ .
$\dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$ и $x + 2$ — разные функции: первая не определена при $x = 2$ , на графике точка $(2;\ 4)$ выколота. Но при $x \ne 2$ они совпадают, и пределы при $x \to 2$ равны.

Никольский, п. 2.3Пример 1

Вычислите

\lim\limits_{x \to 2}\dfrac{x^3 - 8}{x - 2}

.

Числитель и знаменатель стремятся к нулю. Разложим разность кубов: $x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$ .
При $x \ne 2$ дробь равна $x^2 + 2x + 4$ , поэтому предел равен $2^2 + 2\cdot 2 + 4 = 12$ .

Ответ: $12$

Никольский, п. 2.3Пример 2

Вычислите: а)

\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sin 3x}{2x}

; б)

\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\operatorname{tg} 2x}{\sin 5x}

.

а) $\dfrac{\sin 3x}{2x} = \dfrac32\cdot\dfrac{\sin 3x}{3x}$ . При $x \to 0$ и $3x \to 0$ , второй множитель стремится к $1$ : предел $\dfrac32$ .
б) $\dfrac{\operatorname{tg} 2x}{\sin 5x} = \dfrac{\operatorname{tg} 2x}{2x}\cdot\dfrac{5x}{\sin 5x}\cdot\dfrac{2x}{5x}$ . Первые два множителя стремятся к $1$ , третий равен $\dfrac25$ .

Ответ: а) $\dfrac32$ ; б) $\dfrac25$

Никольский, п. 2.3Пример 3

Вычислите: а)

\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{3x + 7}{2x + 1}

; б)

\lim\limits_{x \to -\infty}\dfrac{3x^4 + 5x - 1}{2x^3 + 3x^2 + 9x + 1}

.

а) Делим числитель и знаменатель на $x$ : $\dfrac{3 + \frac7x}{2 + \frac1x}$ . Так как $\dfrac7x \to 0$ и $\dfrac1x \to 0$ , предел равен $\dfrac32$ .
б) Делим на $x^3$ : $\dfrac{3x + \frac{5}{x^2} - \frac{1}{x^3}}{2 + \frac3x + \frac{9}{x^2} + \frac{1}{x^3}}$ . Знаменатель стремится к $2$ , числитель — к $-\infty$ (так как $3x \to -\infty$ ).

Ответ: а) $\dfrac32$ ; б) $-\infty$

Никольский, п. 2.3Пример 4

Вычислите

\lim\limits_{x \to \infty}\left(1 + \dfrac1x\right)^{3x}

.

$\left(1 + \dfrac1x\right)^{3x} = \left(\left(1 + \dfrac1x\right)^x\right)^3$ .
По второму замечательному пределу внутренняя скобка стремится к $e$ , а куб предела — предел куба (свойство произведения).

Ответ: $e^3$

Непрерывность функции в точке

$x = x_0 + \Delta x$ ; $\Delta x$ — приращение аргумента, $\Delta f = \Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$ — приращение функции в точке $x_0$ .
$f$ , определённая на $(a;\ b)$ , непрерывна в точке $x_0$ , если $\Delta y \to 0$ при любом способе стремления $\Delta x \to 0$ : $\lim\limits_{\Delta x \to 0}\Delta y = 0$ . Иначе $f$ разрывна в $x_0$ .
Отсюда $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) + \lim\limits_{x \to x_0}(f(x) - f(x_0)) = f(x_0)$ . Равносильное определение: $f$ определена в окрестности $x_0$ и в самой точке, предел в $x_0$ существует и $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ .
На чертеже при $\Delta x \to 0$ , $\Delta x < 0$ , приращение стремится к нулю, а при $\Delta x > 0$ — к длине $AQ$ : в $x_0$ разрыв.

Непрерывность на промежутке

$f$ непрерывна справа в $x_0$ , если $\lim\limits_{x \to x_0,\ x > x_0} f(x) = f(x_0)$ ; слева — если $\lim\limits_{x \to x_0,\ x < x_0} f(x) = f(x_0)$ . На чертеже предыдущего слайда функция непрерывна слева в $x_0$ , но не справа.
Непрерывна на интервале $(a;\ b)$ — в каждой его точке; на отрезке $[a;\ b]$ — на $(a;\ b)$ , справа в $a$ и слева в $b$ . График непрерывной на промежутке функции — непрерывная линия.
На языке ε–δ: $f$ непрерывна в $x_0$ , если для любого $\varepsilon > 0$ найдётся $\delta > 0$ : $|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$ при $|x - x_0| < \delta$ .
Непрерывность позволяет переносить предел внутрь: $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f\left(\lim\limits_{x \to x_0} x\right)$ . Так, $\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\ln(1 + x)}{x} = \ln\lim\limits_{x \to 0}(1 + x)^{\frac1x} = \ln e = 1$ , а заменой $e^x - 1 = t$ : $\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{e^x - 1}{x} = 1$ .

Непрерывность элементарных функций

Каждая основная элементарная функция непрерывна в каждой точке области существования: $\lim\limits_{x \to x_0} a^x = a^{x_0}$ , $\lim\limits_{x \to x_0}\log_a x = \log_a x_0$ ( $x_0 > 0$ ), $\lim\limits_{x \to x_0}\sin x = \sin x_0$ и т. д.
$x^n$ , $a^x$ , $\sin x$ , $\cos x$ непрерывны на $\mathbb{R}$ ; $x^{-\alpha}$ и $\log_a x$ — на $(0;\ +\infty)$ ; $x^{\alpha}$ ( $\alpha > 0$ ) — на $[0;\ +\infty)$ ; $\operatorname{tg} x$ — на каждом $\left(-\frac{\pi}{2} + \pi k;\ \frac{\pi}{2} + \pi k\right)$ ; $\operatorname{ctg} x$ — на каждом $(\pi n;\ \pi(n + 1))$ .
Суперпозиция непрерывных непрерывна: если $\varphi$ непрерывна в $u_0$ , а $f$ — в $\varphi(u_0)$ , то $\lim\limits_{u \to u_0} f(\varphi(u)) = f\left(\lim\limits_{u \to u_0}\varphi(u)\right) = f(\varphi(u_0))$ .
$y = \sin x^3$ непрерывна на $\mathbb{R}$ ; $y = \sqrt{1 - x^2}$ — суперпозиция $\sqrt u$ , $u = 1 - v$ , $v = x^2$ — непрерывна при $1 - x^2 \ge 0$ , то есть на $[-1;\ 1]$ .

Теорема о промежуточном значении

Теорема. Пусть $f$ непрерывна на отрезке $[a;\ b]$ , $f(a) = A$ , $f(b) = B$ , $A \ne B$ . Тогда для любого $C$ между $A$ и $B$ найдётся точка $x_0 \in (a;\ b)$ , в которой $f(x_0) = C$ .

Иначе: непрерывная на отрезке функция принимает все промежуточные значения между значениями на концах. Доказательство опирается на непрерывность множества действительных чисел и выходит за рамки школьной программы.
Следствие: если $f$ непрерывна на $[a;\ b]$ и на концах принимает значения разных знаков, то на $(a;\ b)$ есть нуль функции — корень уравнения $f(x) = 0$ . На этом основан метод интервалов.

Никольский, п. 2.5Пример 5

Докажите, что уравнение имеет корень на отрезке: а)

x^5 - 55 = 0

на

[2;\ 4]

; б)

x^3 + 5x^2 - 7x - 1 = 0

на

[1;\ 2]

.

Левые части — многочлены, они непрерывны на $\mathbb{R}$ , в частности на данных отрезках.
а) $f(2) = 32 - 55 = -23 < 0$ , $f(4) = 1024 - 55 = 969 > 0$ .
б) $g(1) = 1 + 5 - 7 - 1 = -2 < 0$ , $g(2) = 8 + 20 - 14 - 1 = 13 > 0$ .
На концах — значения разных знаков; по теореме о промежуточном значении ( $C = 0$ ) внутри отрезка есть точка, где функция равна нулю.

Ответ: корень есть: функция непрерывна и меняет знак на концах отрезка

Разрывные функции

$\operatorname{sgn} x$ разрывна в $0$ . Скорость упругого шарика при ударе о стенку в момент $t_0$ мгновенно меняется с $v_0$ на $-v_0$ — скачкообразные процессы описываются разрывными функциями.
$y = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ при $x \ne 1$ , $y(1) = 3$ : предел в точке $1$ равен $2 \ne 3$ — разрыв. Если положить $y(1) = 2$ , функция станет непрерывной.
Если в точке разрыва левый и правый пределы равны одному числу $A$ , разрыв устранимый: достаточно положить $f(x_0) = A$ . Иначе разрыв неустранимый — как ни доопределяй.
$y = x^0$ доопределяется в нуле числом $1$ ; $\ \dfrac1x$ , $\dfrac{x^2 + 1}{(x + 3)(x - 2)}$ , $\operatorname{sgn} x$ — неустранимые разрывы. У $[x]$ и $\{x\}$ разрыв в каждой целой точке.

Никольский, п. 2.6Пример 6

Можно ли доопределить функцию в точке

x_0

так, чтобы она стала непрерывной на

\mathbb{R}

: а)

f(x) = \dfrac{x^2 - 5x + 4}{x - 1}

,

x_0 = 1

; б)

f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x + 2}

,

x_0 = -2

?

а) $x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4)$ , при $x \ne 1$ : $f(x) = x - 4$ . Предел в точке $1$ равен $-3$ — разрыв устранимый, кладём $f(1) = -3$ .
б) $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$ , при $x \ne -2$ : $f(x) = x - 2$ , предел в $-2$ равен $-4$ . Кладём $f(-2) = -4$ .
Получаются функции $x - 4$ и $x - 2$ — многочлены, непрерывные на $\mathbb{R}$ .

Ответ: да: а) $f(1) = -3$ ; б) $f(-2) = -4$

Главное

$\lim\limits_{x \to a} f(x) = A$ : значения $f$ стремятся к $A$ , когда $x \to a$ ; значение в самой точке не важно. Предел существует, если левый и правый пределы равны.
Замечательные пределы: $\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x} = 1$ , $\ \lim\limits_{x \to 0}(1 + x)^{\frac1x} = e$ .
Предел суммы, произведения, частного — по свойствам; неопределённость $\frac00$ — сократить; $x \to \infty$ — делить на старшую степень.
Непрерывность в $x_0$ : $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ . Элементарные функции непрерывны в области существования.
Непрерывная на отрезке функция принимает все промежуточные значения; смена знака — есть корень.

Все уроки станции «Функции, пределы, непрерывность»