Числа и вычисления · 10 класс · урок 1 из 3 · Никольский, «Алгебра и начала анализа 10», § 5, п. 5.1

Понятие логарифма

Сначала нужно знать: Степень с действительным показателем, показательная функция
Зачем этот урок: ЕГЭ №8: значения логарифмов и основное логарифмическое тождество; основа для ЕГЭ №7, №12, №16
Дальше: Свойства логарифмов

Логарифмы · урок 1

Понятие логарифма

Определение, основное тождество, натуральный и десятичный логарифмы

Обратная задача для степени

По графику $y = a^x$ ( $a > 0$ , $a \ne 1$ ) находим $a^\alpha$ для любого $\alpha$ . Но можно решить и обратную задачу: по данным $b > 0$ и $a$ найти $\alpha$ , для которого $a^\alpha = b$ .

Проведём прямую $y = b$ . Она пересекает график $y = a^x$ в единственной точке $M$ (функция монотонна и принимает все положительные значения). Абсцисса $\alpha$ точки $M$ — единственное число с $a^\alpha = b$ .

При $b \le 0$ прямая $y = b$ лежит ниже графика — такого $\alpha$ нет.

Определение логарифма

a^{\log_a b} = b \qquad (a > 0,\ a \ne 1,\ b > 0)

Это основное логарифмическое тождество — прямое следствие определения.
$a^\alpha > 0$ при любом $\alpha$ , поэтому логарифм нуля и отрицательного числа не существует.
Всегда $\log_a 1 = 0$ ( $a^0 = 1$ ), $\log_a a = 1$ ( $a^1 = a$ ), $\log_a a^c = c$ .
Примеры: $\log_2 1 = 0$ ; $\log_{0{,}01} 0{,}01 = 1$ ; $\log_3 27 = 3$ , так как $3^3 = 27$ ; $\log_{10} 0{,}001 = -3$ , так как $10^{-3} = 0{,}001$ .

Логарифмом положительного числа

b

по основанию

a

(

a > 0

a \ne 1

) называют число

\alpha

, такое, что

a^\alpha = b

. Обозначение:

\alpha = \log_a b

Натуральный и десятичный логарифмы

Логарифм по основанию $e$ называют натуральным: $\ln b = \log_e b$ . Примеры: $\ln e^3 = 3$ , $\ln\dfrac1e = -1$ , $\ln e^\pi = \pi$ .
Логарифм по основанию $10$ — десятичный: $\lg b = \log_{10} b$ .
$\lg 1 = 0$ , $\lg 10 = 1$ , $\lg 100 = 2$ , $\lg 1000 = 3$ , $\lg 0{,}1 = -1$ , $\lg 0{,}01 = -2$ , $\lg 0{,}001 = -3$ .
Вычислить логарифм — значит подобрать показатель: представить $b$ степенью основания.

Как вычислять логарифм

Выражение	Ход	Значение
$\log_2 16$	$16 = 2^4$	$4$
$\log_5 \frac{1}{25}$	$\frac{1}{25} = 5^{-2}$	$-2$
$\log_4 8$	$4 = 2^2,\ 8 = 2^3 = 4^{\frac32}$	$\frac32$
$\log_{\sqrt3} 9$	$9 = 3^2 = (\sqrt3)^4$	$4$
$\log_{0{,}5} 32$	$32 = 2^5 = (0{,}5)^{-5}$	$-5$

Удобно приводить основание и число к одному простому основанию: $a = p^m$ , $b = p^k$ ⇒ $\log_a b = \dfrac km$ .

Никольский, № 5.4, 5.5Пример 1

Вычислите: а)

\log_5\dfrac15

; б)

\log_5 5^3

; в)

2^{\log_2 3 + \log_2 5}

; г)

\left(3^{\log_3 7}\right)^2

; д)

7^{2\log_7 3}

; е)

0{,}1^{2\log_{0{,}1} 10}

а) $\dfrac15 = 5^{-1}$ ⇒ $-1$ . б) $3$ .
в) $2^{\log_2 3}\cdot 2^{\log_2 5} = 3\cdot 5 = 15$ . г) $7^2 = 49$ .
д) $\left(7^{\log_7 3}\right)^2 = 3^2 = 9$ . е) $\left(0{,}1^{\log_{0{,}1} 10}\right)^2 = 10^2 = 100$ .

Ответ: а) $-1$ ; б) $3$ ; в) $15$ ; г) $49$ ; д) $9$ ; е) $100$

Никольский, № 5.7–5.9Пример 2

Вычислите: а)

\ln\sqrt[3]{\dfrac1e}

; б)

\lg\sqrt[3]{0{,}01}

; в)

e^{-2\ln 3}

; г)

10^{-3\lg 2}

а) $\sqrt[3]{e^{-1}} = e^{-\frac13}$ ⇒ $-\dfrac13$ . б) $\sqrt[3]{10^{-2}} = 10^{-\frac23}$ ⇒ $-\dfrac23$ .
в) $\left(e^{\ln 3}\right)^{-2} = 3^{-2} = \dfrac19$ . г) $\left(10^{\lg 2}\right)^{-3} = 2^{-3} = \dfrac18$ .

Ответ: а) $-\tfrac13$ ; б) $-\tfrac23$ ; в) $\tfrac19$ ; г) $\tfrac18$

ЕГЭ, задание 8Пример 3

Найдите значение выражения

\log_4 8

$4 = 2^2$ , $8 = 2^3$ : $4^x = 8 \iff 2^{2x} = 2^3 \iff x = \dfrac32$ .

Ответ: 1,5

ЕГЭ, задание 8Пример 4

Найдите значение выражения

\log_{0{,}25} 2

$0{,}25 = 2^{-2}$ : $\left(2^{-2}\right)^x = 2 \iff -2x = 1 \iff x = -\dfrac12$ .

Ответ: −0,5

ЕГЭ, задание 8Пример 5

Найдите значение выражения

\log_{\sqrt[6]{13}} 13

$\sqrt[6]{13} = 13^{\frac16}$ , поэтому $13 = \left(13^{\frac16}\right)^6$ .
$\log_{\sqrt[6]{13}} 13 = 6$ .

Ответ: 6

ЕГЭ, задание 8Пример 6

Найдите значение выражения

7\cdot 5^{\log_5 4}

Основное тождество: $5^{\log_5 4} = 4$ .
$7\cdot 4 = 28$ .

Ответ: 28

ЕГЭ, задание 8Пример 7

Найдите значение выражения

36^{\log_6 5}

$36^{\log_6 5} = \left(6^2\right)^{\log_6 5} = \left(6^{\log_6 5}\right)^2$ .
$= 5^2 = 25$ .

Ответ: 25

ЕГЭ, задание 8Пример 8

Найдите значение выражения

\log_4\left(\log_3 81\right)

Изнутри наружу: $\log_3 81 = 4$ , так как $3^4 = 81$ .
$\log_4 4 = 1$ .

Ответ: 1

Главное

$\log_a b = \alpha \iff a^\alpha = b$ ( $a > 0$ , $a \ne 1$ , $b > 0$ ).
$a^{\log_a b} = b$ ; $\log_a 1 = 0$ , $\log_a a = 1$ , $\log_a a^c = c$ .
$\ln = \log_e$ , $\lg = \log_{10}$ .
Вычисляем, приводя основание и число к одному простому основанию.

Понятие логарифма

Все уроки станции «Логарифмы»