Свойства логарифмов

$a > 0$, $a \ne 1$, $M > 0$, $N > 0$, $\gamma$ — любое действительное число.

Доказательство. Пусть $M = a^\alpha$, $N = a^\beta$, т. е. $\alpha = \log_a M$, $\beta = \log_a N$.

$MN = a^\alpha a^\beta = a^{\alpha + \beta}$ ⇒ $\log_a(MN) = \alpha + \beta$. $\ \dfrac MN = a^{\alpha - \beta}$ ⇒ $\log_a\dfrac MN = \alpha - \beta$.

$M^\gamma = \left(a^\alpha\right)^\gamma = a^{\alpha\gamma}$ ⇒ $\log_a M^\gamma = \gamma\alpha = \gamma\log_a M$.

• Логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов: $\log_{10} 5 + \log_{10} 20 = \log_{10} 100 = 2$.
• Логарифм частного — разность логарифмов делимого и делителя: $\log_3 54 - \log_3 2 = \log_3 27 = 3$.
• Логарифм степени — показатель, умноженный на логарифм основания степени: $\log_2 4^3 = 3\log_2 4 = 6$.
• Осторожно: свойства верны для положительных $M, N$. $\log_2 x^2 = 2\log_2|x|$, а не $2\log_2 x$ — при $x < 0$ правая часть не существует.

$a, b, M > 0$, $a \ne 1$, $b \ne 1$. Доказательство. По свойству степени $\log_b M = \log_b\left(a^{\log_a M}\right) = \log_a M\cdot\log_b a$.

$a \ne 1$, поэтому $\log_b a \ne 0$ — делим и получаем формулу. При $M = b$: $\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}$.

Примеры: $\dfrac{\log_7 25}{\log_7 5} = \log_5 25 = 2$; $\log_3 6\cdot\log_6 3 = 1$; $5^{\frac{1}{\log_4 5}} = 5^{\log_5 4} = 4$.

• $\log_{a^\gamma} b^\gamma = \log_a b$ (№ 5.21): $\log_{a^\gamma} b^\gamma = \dfrac{\gamma\log_a b}{\gamma\log_a a} = \log_a b$; отсюда $\log_{a^k} b = \dfrac1k\log_a b$.
• Цепочка: $\log_a b\cdot\log_b c = \log_a c$ — основания «сокращаются».
• $a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$: прологарифмируйте обе части по основанию $b$ — получится $\log_b c\cdot\log_b a$ слева и справа.
• $a^{k + \log_a b} = a^k\cdot b$, $\ a^{k\log_a b} = b^k$.

1. а) $\log_{36} 25 = \log_{6^2} 5^2 = \log_6 5$, $6^{\log_6 5} = 5$. б) $\log_{49} 36 = \log_7 6$ ⇒ $6$.
2. в) $\log_2 3\cdot\log_3 4 = \log_2 4$ — дробь равна $1$; $\log_5 25 = 2$.

1. а) $3 - 6 - (-3) - \log_{\frac{\sqrt3}{2}}\left(\dfrac{\sqrt3}{2}\right)^{-6} = 3 - 6 + 3 + 6 = 6$, так как $\dfrac{64}{27} = \left(\dfrac43\right)^3 = \left(\dfrac{\sqrt3}{2}\right)^{-6}$.
2. б) $\dfrac{1}{\log_{15} 3} = \log_3 15$: выражение равно $\log_3 135\cdot\log_3 15 - \log_3 5\cdot\log_3 405$.
3. $t = \log_3 5$: $(3 + t)(1 + t) - t(4 + t) = 3 + 4t + t^2 - 4t - t^2 = 3$.

1. $\log_5\dfrac{60}{12} = \log_5 5 = 1$.

1. По формуле перехода $\dfrac{\log_3 25}{\log_3 5} = \log_5 25 = 2$.
2. Или: $\log_3 25 = 2\log_3 5$.

1. $\log_5 9 = 2\log_5 3$, $\log_3 25 = 2\log_3 5$.
2. $4\log_5 3\cdot\log_3 5 = 4\cdot 1 = 4$.

1. $1 - \log_2 12 = \log_2\dfrac{2}{12} = -\log_2 6$; $1 - \log_6 12 = \log_6\dfrac{6}{12} = -\log_6 2$.
2. Произведение: $\log_2 6\cdot\log_6 2 = 1$.

1. $8^2\cdot 8^{\log_8 12} = 64\cdot 12$.
2. $= 768$.

1. $2 = \log_3 9$, знаменатель $\log_3 9 + \log_3 2 = \log_3 18$.
2. Дробь равна $1$.

• $\log_a(MN) = \log_a M + \log_a N$, $\log_a\dfrac MN = \log_a M - \log_a N$, $\log_a M^\gamma = \gamma\log_a M$ — для $M, N > 0$.
• $\log_a M = \dfrac{\log_b M}{\log_b a}$, $\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}$, $\log_a b\cdot\log_b c = \log_a c$.
• $\log_{a^k} b^k = \log_a b$; $a^{k + \log_a b} = a^kb$.
• Числа «собираем» под один логарифм, а логарифмы — к одному основанию.