Десятичные логарифмы. Преобразования

Запишем $A > 0$ в стандартном виде и применим свойства логарифмов: $\lg A = \lg a + \lg 10^k = \lg a + k$.

Целое число $k$ называют характеристикой логарифма, $\lg a$ — мантиссой. Из $1 \le a < 10$ и возрастания $\lg$: $0 = \lg 1 \le \lg a < \lg 10 = 1$.

Мантисса зависит только от последовательности цифр числа, характеристика — от положения запятой. Поэтому таблицы содержали мантиссы для $1 \le a < 10$.

• $\lg 0{,}123 = \lg(1{,}23\cdot 10^{-1}) = 0{,}0899 + (-1) = -0{,}9101$. Удобная запись: $\bar1{,}0899$ (характеристика $-1$, мантисса $0{,}0899$).
• $\lg 373{,}2 = \lg 3{,}732 + 2 = 0{,}5719 + 2 = 2{,}5719$.
• $\lg 0{,}00324 = \lg 3{,}24 + (-3) = 0{,}5105 - 3 = -2{,}4895$.
• Обратная задача. $\lg A = 1{,}23$: $A = 10^1\cdot 10^{0{,}23} = 10\cdot 1{,}698 = 16{,}98$. $\lg A = -1{,}23 = -2 + 0{,}77$: $A = 10^{-2}\cdot 5{,}888 = 0{,}05888$.

Умножение заменяется сложением: $\lg(AB) = \lg A + \lg B$; деление — вычитанием; возведение в степень и извлечение корня — умножением и делением на показатель.

Так считали астрономы и инженеры: Непер (XVI–XVII вв.) изобрёл логарифмы, Бригс составил таблицы десятичных логарифмов, на этом принципе работала логарифмическая линейка.

Сегодня вычисляет калькулятор, но свойства логарифмов остаются главным инструментом при решении уравнений, неравенств и в анализе.

• Если $\log_a b$ известен, $\log_a$ любого произведения степеней $a$ и $b$ выражается через него: $\log_a\left(a^mb^n\right) = m + n\log_a b$, $\ \log_a\dfrac{a^m}{b^n} = m - n\log_a b$.
• Если дан $\log_b a$, переходим: $\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}$.
• Пример: $\log_a b = 3$ ⇒ $\log_a\left(\dfrac{a^2}{\sqrt b}\right) = 2 - \dfrac12\cdot 3 = \dfrac12$.
• Потенцирование — обратный шаг: $\lg x = \lg 5 + 2\lg 3 \iff \lg x = \lg(5\cdot 9) \iff x = 45$.

1. а), б) $1{,}999\cdot 10^3$, $2\cdot 10^3$ — характеристика $3$.
2. в) $4{,}23\cdot 10^{-1}$ — $-1$. г) $3{,}5\cdot 10^{-2}$ — $-2$.
3. д) $3{,}45\cdot 10^2$ — $2$. е) $7\cdot 10^{-4}$ — $-4$.

1. $\lg(8\cdot 125) = \lg 1000 = 3$.

1. $\lg 10^{\frac14} = \dfrac14$.
2. $16\cdot\dfrac14 = 4$.

1. $\log_a a^3 + \log_a b^8 = 3 + 8\log_a b$.
2. $3 + 8\cdot(-10) = -77$.

1. $\log_a a^2 - \log_a b^5 = 2 - 5\log_a b$.
2. $2 - 5\cdot(-7) = 37$.

1. $\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a} = 7$.
2. $\log_a(ab^3) = 1 + 3\cdot 7 = 22$.

• $\lg A = k + \lg a$: характеристика $k$ — порядок числа, мантисса $\lg a \in [0; 1)$.
• Логарифмирование: $\log_a(a^mb^n) = m + n\log_a b$.
• Дан $\log_b a$ — переходим к $\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}$.
• Потенцирование: равенство логарифмов по одному основанию ⇒ равенство чисел.