Импульс. Второй закон Ньютона в импульсной форме

В любой системе тел координаты и скорости постоянно меняются. Но в системе, на которую не действуют внешние силы (замкнутой), есть величины, зависящие от координат и скоростей, которые со временем не меняются.

Это импульс, механическая энергия и момент импульса; для них есть законы сохранения.

Законы сохранения позволяют решать важные задачи, не разбираясь в силах и не прослеживая движение во всех подробностях. Открытые в механике, они работают во всей физике.

Пусть на тело действует постоянная сила, тогда и ускорение постоянно: $\vec{a} = \dfrac{\vec{v}_2 - \vec{v}_1}{\Delta t}$. Подставим во второй закон:

Здесь появилась новая величина — импульс материальной точки:

• $\vec{p} = m\vec{v}$ — произведение массы на скорость;
• импульс — вектор, направлен так же, как скорость (масса положительна);
• единица — килограмм-метр в секунду, кг·м/с.

Обозначим $\vec{p}_1 = m\vec{v}_1$ и $\vec{p}_2 = m\vec{v}_2$ — импульсы в начале и в конце промежутка $\Delta t$. Тогда

Изменение импульса материальной точки пропорционально приложенной силе и направлено так же, как сила. Именно так впервые сформулировал второй закон Ньютон.

• $\vec{F}\Delta t$ называют импульсом силы, единица — Н·с. Не путать с импульсом тела $m\vec{v}$.
• Изменение импульса — вектор $\vec{p}_2 - \vec{p}_1$, а не разность модулей. Мяч, отскочивший от стены с той же скоростью, изменил импульс на $2mv$.

Одно и то же изменение импульса можно получить большой силой за короткое время или малой силой за долгое.

Чтобы безопасно остановиться после прыжка, надо тормозить дольше: прыгуны в высоту приземляются на мягкие маты — прогибаясь, мат тормозит спортсмена постепенно, и сила удара меньше.

По той же причине сминаемые зоны автомобиля, подушки безопасности и согнутые при приземлении колени спасают от травм.

1. $\Delta p = F\Delta t = 4 \cdot 2 = 8$ кг·м/с; импульс растёт — сила направлена по движению.
2. $p_1 = p_2 - \Delta p = 20 - 8 = 12$ кг·м/с.

1. Скорость перед ударом: $v_1 = \sqrt{2gH} = \sqrt{100} = 10$ м/с, вниз. После: $v_2 = \sqrt{2g\frac{H}{4}} = 5$ м/с, вверх.
2. Ось вверх: $\Delta p_y = mv_2 - (-mv_1) = m(v_1 + v_2)$ — скорости разных направлений, модули складываются.
3. $\Delta p = 0{,}2 \cdot (10 + 5) = 3$ кг·м/с.

1. Без сопротивления мяч возвращается с той же по модулю скоростью, направленной вниз: $-\vec{v}$.
2. $\Delta\vec{p} = m(-\vec{v}) - m\vec{v} = -2m\vec{v}$ — вариант 3.
3. Проверка вторым законом: сила тяжести $m\vec{g}$ действовала время $t = \dfrac{2v}{g}$, $\;m\vec{g}t$ — это $2mv$, направленное вниз.

1. При упругом ударе о гладкую плиту горизонтальная составляющая скорости не меняется, вертикальная меняет знак.
2. Значит, изменяется только вертикальная проекция импульса: $\Delta\vec{p}$ направлен вертикально (вверх) — вариант 2.
3. Так и должно быть: сила, с которой плита действует на мяч, вертикальна, а $\Delta\vec{p} \uparrow\uparrow \vec{F}$.

1. За $1$ мин пули получают импульс $N m v = 300 \cdot 0{,}01 \cdot 300 = 900$ кг·м/с.
2. Столько же импульса в противоположную сторону получает автомат, а его останавливает плечо. Средняя сила $F = \dfrac{\Delta p}{\Delta t} = \dfrac{900}{60} = 15$ Н.

• Импульс тела $\vec{p} = m\vec{v}$ — вектор по скорости, единица кг·м/с.
• Второй закон в форме Ньютона: $\Delta\vec{p} = \vec{F}\Delta t$; $\vec{F}\Delta t$ — импульс силы (Н·с).
• Изменение импульса — векторная разность; при отскоке модули складываются.
• Переменная сила: $\Delta p$ — площадь под графиком $F(t)$.
• Импульс системы меняют только внешние силы; внутренние лишь перераспределяют его.