Закон сохранения импульса. Реактивное движение

Из $\Delta\vec{p}_{\text{сист}} = (\sum\vec{F}_{\text{внеш}})\Delta t$: если сумма внешних сил равна нулю, то $\Delta\vec{p}_{\text{сист}} = 0$ — за любой промежуток времени импульс системы в начале и в конце один и тот же.

Если сумма всех внешних сил, действующих на тела системы, равна нулю, импульс системы не изменяется с течением времени.

• Тела обмениваются импульсами, а суммарный не меняется.
• Сохраняется векторная сумма, а не сумма модулей. Векторное равенство — это равенства для проекций.
• Закон — следствие второго и третьего законов Ньютона и выполняется в ИСО.

Систему, на которую не действуют внешние силы, называют замкнутой (изолированной):

Строго замкнутых систем почти не бывает, но закон работает в трёх случаях:

• Внешние силы скомпенсированы: их векторная сумма равна нулю — $\vec{p}_{\text{н}} = \vec{p}_{\text{к}}$.
• Сохраняется проекция: если сумма проекций внешних сил на ось $X$ равна нулю, то $p_{\text{н}x} = p_{\text{к}x}$. Сила тяжести вертикальна — горизонтальная проекция импульса тел на Земле сохраняется, если нет трения и сопротивления.
• Короткое мощное взаимодействие (удар, взрыв, выстрел): внутренние силы огромны, время мало, и импульсом внешних сил за это время можно пренебречь.

Реактивное движение — движение, возникающее при отделении от тела его части с некоторой скоростью относительно тела. Например, при истечении продуктов сгорания из сопла ракеты.

Газы за счёт давления в камере сгорания получают импульс $m_{\text{г}}v_{\text{г}}$; по закону сохранения импульса ракета получает такой же по модулю импульс в противоположную сторону: $m_{\text{р}}v_{\text{р}} = m_{\text{г}}v_{\text{г}}$.

Главная особенность реактивной силы: она возникает без взаимодействия с внешними телами — ракета взаимодействует только со своей струёй.

Пусть газы вытекают со скоростью $\vec{u}$ относительно ракеты, расход топлива $\mu$ — масса сгоревшего топлива в единицу времени. Закон сохранения импульса для системы «ракета — газ» за малое время $\Delta t$ даёт уравнение Мещерского (1897):

• $\vec{F}_{\text{р}} = -\mu\vec{u}$ — реактивная сила: приложена к ракете, направлена против скорости газов относительно ракеты.
• Она зависит только от скорости истечения и расхода топлива; у космических ракет достигает $1000$ кН.
• При внешних силах: $M\dfrac{\Delta\vec{v}}{\Delta t} = \vec{F}_{\text{р}} + \vec{F}_{\text{внеш}}$, масса $M$ при этом убывает.

• Ракетные: топливо и окислитель на борту. Твёрдотопливный — порох горит в камере; давление газов на переднюю стенку больше, чем на заднюю, где сопло. Сопло сужает струю и увеличивает скорость истечения.
• Жидкостные (ЖРД): горючее (керосин, водород…) и окислитель (жидкий кислород…) подают насосами в камеру; температура около $3000$ °С, давление до $50$ атм. Первый ЖРД — Годдард, 1926 г.
• Воздушно-реактивные: окислитель — кислород воздуха; компрессор сжимает воздух, газы вращают турбину. Ими оснащены самолёты.
• В космосе возможен только реактивный двигатель: оттолкнуться не от чего.

• К. Э. Циолковский (1903): теория полёта ракеты переменной массы, идея ракет для межпланетных полётов; 1929 — теория многоступенчатых ракет: отработавшая ступень отделяется, и топливо не тратится на разгон её корпуса.
• И. В. Мещерский (1897): реактивная сила из закона сохранения импульса.
• 4 октября 1957 г. — первый искусственный спутник Земли; 12 апреля 1961 г. — полёт Ю. А. Гагарина на «Востоке» (облёт Земли за $1$ ч $48$ мин). Генеральный конструктор — С. П. Королёв.
• 1969 г. — высадка «Аполлона-11» на Луну; станция «Мир» (1986–2001), сейчас — МКС.

1. По горизонтали внешних сил нет — горизонтальный импульс системы сохраняется и равен нулю.
2. Тележка поедет назад со скоростью $V$, тогда скорость человека относительно Земли $u - V$: $\;0 = m(u - V) - MV$.
3. $V = \dfrac{mu}{m + M} = \dfrac{50 \cdot 3}{150} = 1$ м/с. Если подставить $3$ м/с как скорость относительно Земли, получится неверное $1{,}5$.

1. Скорость снаряда относительно земли: $102 - 2 = 100$ м/с (пушка едет назад).
2. Импульс до выстрела ноль: $0 = m \cdot 100 - M \cdot 2$.
3. $M = \dfrac{20 \cdot 100}{2} = 1000$ кг.

1. Разрыв — короткое мощное взаимодействие, импульс сохраняется: $3m\vec{v} = 2m\vec{u}_1 + m\vec{u}_2$.
2. По горизонтали: $3m \cdot 20 = m u_{2x}$, $u_{2x} = 60$ м/с. По вертикали: $0 = 2m(-40) + m u_{2y}$, $u_{2y} = 80$ м/с.
3. $u_2 = \sqrt{60^2 + 80^2} = 100$ м/с.

1. Горизонтальный импульс сохраняется, после прыжка скорость общая: $(M + m)v = Mv_1 + mv_2$.
2. а) $v = \dfrac{90 \cdot 4 + 70 \cdot 8}{160} = 5{,}75$ км/ч.
3. б) $v = \dfrac{90 \cdot 4 - 70 \cdot 8}{160} = -1{,}25$ км/ч — тележка покатится в сторону, куда бежал человек, со скоростью $1{,}25$ км/ч.

• Если сумма внешних сил равна нулю, импульс системы сохраняется: $\sum m_i\vec{v}_i = \text{const}$.
• Сохраняется векторная сумма; решают в проекциях.
• Если внешние силы не скомпенсированы, может сохраняться проекция импульса на ось, где их нет.
• При ударах, выстрелах, взрывах внешними силами за время взаимодействия пренебрегают.
• Скорости — относительно одной ИСО; скорость «относительно тележки» сначала переводят.
• Реактивное движение: ракета получает импульс, противоположный импульсу газов; $\vec{F}_{\text{р}} = -\mu\vec{u}$.