Центр масс. Теорема о движении центра масс

Бросим однородную палку так, чтобы в полёте она вращалась. Её середина движется по плавной линии — той же параболе, по которой летел бы камень, а палка вращается вокруг этой точки.

Прикрепим к одному концу груз и бросим снова. Точка, летящая по параболе, теперь не в середине палки, а ближе к грузу.

Центр масс двух материальных точек лежит на соединяющем их отрезке ближе к большей массе; расстояния до него обратно пропорциональны массам:

Для системы из многих точек массами $\Delta m_i$ с радиус-векторами $\vec{r}_i$:

• $m = \sum \Delta m_i$ — масса всей системы.
• Центр масс однородных тел с центром симметрии — в этом центре: у шара — в центре, у параллелепипеда — в центре симметрии, у однородного стержня — посередине.
• В однородном поле тяжести центр масс совпадает с центром тяжести.

Импульс тела — сумма импульсов всех его точек: $\vec{p} = \sum \Delta m_i\vec{v}_i$.

Из $m\vec{r}_c = \sum \Delta m_i\vec{r}_i$: за малое время $m\Delta\vec{r}_c = \sum \Delta m_i\Delta\vec{r}_i$; делим на $\Delta t$:

Изменение импульса системы определяют только внешние силы: $m\Delta\vec{v}_c = \sum\vec{F}_i\Delta t$, то есть

Центр масс системы движется так же, как двигалась бы материальная точка с массой системы под действием внешних сил, приложенных к системе.

• Поэтому при поступательном движении тело можно заменить материальной точкой — его центром масс.
• Следствие: если сумма внешних сил равна нулю, центр масс покоится или движется равномерно и прямолинейно.

• Барон Мюнхгаузен не мог вытащить себя из болота за косу: сила руки — внутренняя, центр масс барона она не поднимет.
• Проект Сирано де Бержерака — подбрасывать над железной тележкой магнит, чтобы он подтягивал её вверх, — неосуществим по той же причине.
• Ракета в космосе: центр масс системы «ракета — газы» остаётся на месте, ракета летит в одну сторону, газы — в другую.
• Человек идёт по тележке на гладком льду: тележка едет назад так, что центр масс «человек + тележка» стоит.

1. По горизонтали внешних сил нет; сначала всё покоилось — импульс системы ноль, центр масс неподвижен.
2. Скорость человека относительно Земли $u - V$: $\;0 = m(u - V) - MV$.
3. $V = \dfrac{m}{m + M}u$ — вариант 1. Остановится человек — остановится и тележка.

1. Пусть длина вала $L$, центр масс — посередине, на $\dfrac{L}{2}$ от отрезанного конца.
2. После отреза осталось $L - 0{,}4$ м, центр масс оставшейся части — посередине неё, на $\dfrac{L - 0{,}4}{2}$ от нового торца, то есть на $0{,}4 + \dfrac{L - 0{,}4}{2} = \dfrac{L}{2} + 0{,}2$ м от прежнего конца.
3. Центр масс сместился на $20$ см в сторону, противоположную отрезанному концу.

1. Половины одинакового объёма, массы пропорциональны плотностям. Центры масс половин — на $7{,}5$ см и $22{,}5$ см от стального конца.
2. $x_c = \dfrac{7800 \cdot 7{,}5 + 2700 \cdot 22{,}5}{7800 + 2700} \approx 11{,}4$ см от стального конца.
3. Это на $\approx 3{,}6$ см от середины в сторону стали — ближе к большей массе, как и должно быть.

• Центр масс — точка, движущаяся так, будто к ней приложены все внешние силы и в ней сосредоточена вся масса.
• Две точки: $l_1/l_2 = m_2/m_1$; система: $\vec{r}_c = \dfrac{\sum m_i\vec{r}_i}{m}$.
• Импульс тела $\vec{p} = m\vec{v}_c$.
• Теорема: $m\vec{a}_c = \sum\vec{F}_{\text{внеш}}$.
• Без внешних сил центр масс покоится или движется равномерно — внутренние силы его не сдвинут.