Геометрия · 7 класс · урок 1 из 2 · Атанасян, «Геометрия 7–9», гл. III, § 1

Признаки параллельности двух прямых

Сначала нужно знать: Треугольники: признаки равенства
Зачем этот урок: ОГЭ №19: «если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны» и родственные утверждения
Дальше: Аксиома параллельных прямых

Параллельные прямые · урок 1

Секущая, пары углов и три признака

Параллельные прямые

Две прямые либо пересекаются, либо не имеют общих точек.

Определение. Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. Обозначение: $a \parallel b$ .

Прямые, перпендикулярные к третьей, параллельны (это мы доказали в гл. I).

Два отрезка параллельны, если лежат на параллельных прямых: $AB \parallel CD$ , а $MN$ и $CD$ не параллельны. Так же говорят о параллельности отрезка и прямой, луча и прямой, двух лучей.

Секущая и пары углов

Прямая $c$ называется секущей по отношению к прямым $a$ и $b$ , если пересекает их в двух точках. Образуется восемь углов.

Накрест лежащие: $3$ и $5$ , $4$ и $6$ — между прямыми, по разные стороны секущей.

Односторонние: $4$ и $5$ , $3$ и $6$ — между прямыми, по одну сторону секущей.

Соответственные: $1$ и $5$ , $4$ и $8$ , $2$ и $6$ , $3$ и $7$ — одинаково расположены при двух точках пересечения.

Признак 1: накрест лежащие углы

Доказательство. Пусть $\angle 1 = \angle 2$ . Если эти углы прямые, то $a \perp AB$ и $b \perp AB$ , значит, $a \parallel b$ .

Иначе из середины $O$ отрезка $AB$ проведём $OH \perp a$ , на $b$ отложим $BH_1 = AH$ . $\triangle OHA = \triangle OH_1B$ по двум сторонам и углу между ними ( $AO = BO$ , $AH = BH_1$ , $\angle 1 = \angle 2$ ).

Отсюда $\angle 3 = \angle 4$ — точки $H$ , $O$ , $H_1$ на одной прямой, и $\angle OH_1B = \angle OHA = 90^\circ$ . Прямые $a$ и $b$ перпендикулярны к $HH_1$ , поэтому параллельны.

Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Признаки 2 и 3

Соответственные углы равны — прямые параллельны. Пусть $\angle 1 = \angle 2$ . Углы $2$ и $3$ вертикальные: $\angle 2 = \angle 3$ . Тогда $\angle 1 = \angle 3$ , а это накрест лежащие углы — по признаку 1 $a \parallel b$ .
Сумма односторонних углов равна $180^\circ$ — прямые параллельны. Пусть $\angle 1 + \angle 4 = 180^\circ$ . Углы $3$ и $4$ смежные: $\angle 3 + \angle 4 = 180^\circ$ . Значит, $\angle 1 = \angle 3$ — накрест лежащие равны, $a \parallel b$ .
Все три признака сводятся к первому: от соответственных или односторонних переходим к накрест лежащим через вертикальные или смежные углы.

Как строят параллельные на практике

Чтобы провести через точку $M$ прямую, параллельную $a$ , прикладывают угольник к прямой $a$ , к угольнику — линейку и сдвигают угольник вдоль линейки до точки $M$ . Прямые $a$ и $b$ параллельны: соответственные углы при секущей-линейке равны.

Тем же признаком пользуются чертёжники (рейсшина) и столяры (малка — две планки на шарнире).

Атанасян, № 188Пример 1

Отрезки

AB

CD

пересекаются в их общей середине

O

. Докажите, что прямые

AC

BD

параллельны.

$\triangle AOC = \triangle BOD$ по первому признаку: $AO = OB$ , $CO = OD$ , $\angle AOC = \angle BOD$ (вертикальные).
Значит, $\angle CAO = \angle DBO$ .
Это накрест лежащие углы при прямых $AC$ и $BD$ и секущей $AB$ — прямые параллельны.

Ответ: $AC \parallel BD$

Атанасян, № 191Пример 2

Отрезок

BK

— биссектриса треугольника

ABC

. Через точку

K

проведена прямая, пересекающая сторону

BC

в точке

M

так, что

BM = MK

. Докажите, что

KM \parallel AB

$BM = MK$ , треугольник $BMK$ равнобедренный: $\angle MKB = \angle MBK$ .
$BK$ — биссектриса: $\angle MBK = \angle KBA$ . Значит, $\angle MKB = \angle KBA$ .
Это накрест лежащие углы при прямых $KM$ и $AB$ и секущей $BK$ — $KM \parallel AB$ .

Ответ: $KM \parallel AB$

Атанасян, № 192Пример 3

В треугольнике

ABC

\angle A = 40^\circ

, а угол

BCE

, смежный с углом

ACB

, равен

80^\circ

. Докажите, что биссектриса угла

BCE

параллельна прямой

AB

Пусть $CK$ — биссектриса угла $BCE$ : $\angle KCE = 80^\circ : 2 = 40^\circ$ .
Точки $A$ , $C$ , $E$ лежат на одной прямой. Углы $BAC$ и $KCE$ — соответственные при прямых $AB$ и $CK$ и секущей $AE$ .
$\angle BAC = \angle KCE = 40^\circ$ — соответственные углы равны, значит, $CK \parallel AB$ .

Ответ: $CK \parallel AB$

Главное

Параллельные прямые — прямые плоскости, которые не пересекаются.
Секущая образует пары углов: накрест лежащие, односторонние, соответственные.
Прямые параллельны, если накрест лежащие углы равны, или соответственные равны, или односторонние в сумме $180^\circ$ .
Доказывая параллельность, ищите равные накрест лежащие углы — чаще всего из равных треугольников или равнобедренного.

Признаки параллельности двух прямых

Все уроки станции «Параллельные прямые»