Геометрия · 7 класс · урок 2 из 2 · Атанасян, «Геометрия 7–9», гл. III, § 2

Аксиома параллельных прямых

Сначала нужно знать: Признаки параллельности двух прямых
Зачем этот урок: ОГЭ №15–17: углы при параллельных прямых — главный инструмент задач на треугольники, параллелограммы и трапеции
Дальше: Сумма углов треугольника

Параллельные прямые · урок 2

Аксиомы, пятый постулат и свойства углов при параллельных

Аксиомы

Теоремы мы доказываем с опорой на уже доказанные. А на чём держатся самые первые? Некоторые утверждения принимают без доказательства как исходные — это аксиомы (греч. «аксиос» — ценный, достойный).

Примеры: через любые две точки проходит прямая, и притом только одна; на любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один; от любого луча в заданную сторону можно отложить угол, равный данному неразвёрнутому, и притом только один.

Такой способ строить геометрию — от аксиом к теоремам — изложил древнегреческий учёный Евклид (III в. до н. э.) в «Началах». Поэтому школьная геометрия называется евклидовой.

Параллельная существует

Пусть $M$ не лежит на прямой $a$ . Проведём через $M$ прямую $c \perp a$ , затем прямую $b \perp c$ . Прямые $a$ и $b$ перпендикулярны к $c$ , значит, $a \parallel b$ — параллельная через $M$ существует.

А можно ли через $M$ провести ещё одну параллельную? Кажется, любой поворот $b$ на малый угол даёт прямую $b'$ , пересекающую $a$ . Но доказать это из остальных аксиом нельзя.

Пятый постулат

В «Началах» Евклида есть пятый постулат, из которого следует это утверждение. Две тысячи лет математики пытались вывести его из других аксиом — безуспешно.

Лишь в XIX веке выяснилось: единственность параллельной доказать нельзя, это самостоятельная аксиома. Огромную роль сыграл русский математик Н. И. Лобачевский (1792–1856), построивший геометрию, где через точку проходит много параллельных.

Мы принимаем это утверждение как аксиому параллельных прямых.

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Следствия из аксиомы

Следствие — утверждение, выводимое прямо из аксиомы или теоремы.
1°. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую. Иначе через точку $M$ пересечения $c$ и $a$ проходили бы две прямые ( $a$ и $c$ ), параллельные $b$ .
2°. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны. Если бы $a$ и $b$ пересеклись в точке $M$ , через $M$ проходили бы две прямые, параллельные $c$ .

Обратная теорема

В теореме различают условие (что дано) и заключение (что требуется доказать). В признаке параллельности условие — «накрест лежащие углы равны», заключение — «прямые параллельны».

Обратная теорема — та, в которой условие и заключение поменялись местами.

Обратное утверждение верно не всегда: «вертикальные углы равны» — верно, а «равные углы вертикальные» — неверно. Поэтому обратные теоремы доказывают заново.

Накрест лежащие при параллельных

Доказательство (от противного). Пусть $a \parallel b$ , а накрест лежащие $\angle 1 \ne \angle 2$ . Отложим от луча $MN$ угол $PMN$ , равный $\angle 2$ , накрест лежащий с ним. По признаку $MP \parallel b$ .

Тогда через $M$ проходят две прямые ( $a$ и $MP$ ), параллельные $b$ , — противоречие с аксиомой. Значит, $\angle 1 = \angle 2$ .

Метод от противного: предполагаем противоположное доказываемому и приходим к противоречию.

Следствие. Прямая, перпендикулярная к одной из двух параллельных, перпендикулярна и к другой.

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

Соответственные и односторонние

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны. $\angle 1 = \angle 3$ (накрест лежащие), $\angle 2 = \angle 3$ (вертикальные) — значит, $\angle 1 = \angle 2$ .
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна $180^\circ$ . $\angle 1 = \angle 2$ (соответственные), $\angle 2 + \angle 4 = 180^\circ$ (смежные) — значит, $\angle 1 + \angle 4 = 180^\circ$ .
Итог: при параллельных прямых накрест лежащие и соответственные углы равны, односторонние в сумме дают $180^\circ$ . Все острые углы равны между собой, все тупые равны между собой.

Углы с параллельными сторонами

Если стороны одного угла соответственно параллельны сторонам другого угла, то такие углы или равны, или в сумме составляют $180^\circ$ (Атанасян, № 212).

Прямая $O_1B_1$ пересекает $O_1A_1$ , значит, пересекает и параллельную ей $OA$ в точке $M$ . При параллельных $OB$ и $O_1B_1$ и секущей $OM$ угол $1$ равен $\angle AOB$ (накрест лежащие). При параллельных $OA$ и $O_1A_1$ и секущей $O_1M$ угол $1$ либо равен $\angle A_1O_1B_1$ , либо дополняет его до $180^\circ$ .

Атанасян, № 201, 203, 208Пример 1

а) Сумма накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей

210^\circ

. Найдите эти углы. б) Найдите все углы при пересечении параллельных

a

b

секущей

c

, если один из углов на

70^\circ

больше другого. в) Разность двух односторонних углов

50^\circ

. Найдите их.

а) Накрест лежащие углы равны: каждый $210^\circ : 2 = 105^\circ$ .
б) Различных углов два — острый $x$ и тупой $180^\circ - x$ (смежные). $\ (180^\circ - x) - x = 70^\circ$ , $x = 55^\circ$ : четыре угла по $55^\circ$ и четыре по $125^\circ$ .
в) Односторонние в сумме $180^\circ$ : $x + y = 180^\circ$ , $x - y = 50^\circ$ , откуда $x = 115^\circ$ , $y = 65^\circ$ .

Ответ: а) $105^\circ$ и $105^\circ$ ; б) $55^\circ$ и $125^\circ$ ; в) $115^\circ$ и $65^\circ$

Атанасян, № 204Пример 2

Концы отрезка

AB

лежат на параллельных прямых

a

b

. Прямая, проходящая через середину

O

этого отрезка, пересекает прямые

a

b

в точках

C

D

. Докажите, что

CO = OD

$AO = OB$ — $O$ середина.
$\angle CAO = \angle DBO$ — накрест лежащие при $a \parallel b$ и секущей $AB$ ; $\angle AOC = \angle BOD$ — вертикальные.
$\triangle AOC = \triangle BOD$ по второму признаку, поэтому $CO = OD$ .

Ответ: $CO = OD$

Атанасян, № 211 бПример 3

Две параллельные прямые пересечены секущей. Докажите, что биссектрисы односторонних углов перпендикулярны.

Односторонние углы при $P$ и $Q$ в сумме $180^\circ$ , биссектрисы делят их пополам: половинки в сумме $90^\circ$ .
Через точку $K$ пересечения биссектрис проведём прямую $l \parallel a$ ; по следствию 2° и $l \parallel b$ . Прямая $l$ делит угол $PKQ$ на два угла.
Угол между $KP$ и $l$ равен половинке угла $P$ — накрест лежащие при $l \parallel a$ и секущей $PK$ . Так же угол между $l$ и $KQ$ равен половинке угла $Q$ .
$\angle PKQ = \dfrac{\angle P}{2} + \dfrac{\angle Q}{2} = 90^\circ$ .

Ответ: $\angle PKQ = 90^\circ$

Главное

Аксиомы принимают без доказательства; через две точки — одна прямая.
Аксиома параллельных: через точку вне прямой проходит только одна параллельная ей прямая.
Две прямые, параллельные третьей, параллельны; пересекающая одну из параллельных пересекает и другую.
При параллельных и секущей: накрест лежащие и соответственные углы равны, односторонние в сумме $180^\circ$ .

Аксиома параллельных прямых

Все уроки станции «Параллельные прямые»