Степень с целым показателем и её свойства

Для натуральных показателей мы знаем $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Выясним, как делятся степени одного числа. Делить на нуль нельзя, поэтому $a \ne 0$.

$a^m : a^n = \dfrac{a^m}{a^n}$. Если $m > n$, то $a^m = a^{m - n} \cdot a^n$, и по основному свойству дроби $\dfrac{a^{m - n} a^n}{a^n} = a^{m - n}$.

Например, $a^7 : a^3 = \dfrac{aaaaaaa}{aaa} = a^4$ — три множителя сократились.

При $m = 3$, $n = 5$: $\ a^3 : a^5 = \dfrac{a^3}{a^5} = \dfrac{1}{a^2}$. Правило дало бы $a^{3 - 5} = a^{-2}$ — такой степени пока нет. Условимся обозначать $\dfrac{1}{a^2}$ через $a^{-2}$; тогда равенство $a^3 : a^5 = a^{3 - 5}$ станет верным.

При $m = n$: $\ a^m : a^m = 1$, а правило дало бы $a^0$. Условимся считать $a^0 = 1$.

Эти соглашения выбраны не произвольно: только при них правило деления степеней работает всегда, без ограничения $m > n$.

«$a$ в степени минус $m$ равно единице, делённой на $a$ в степени $m$»; «$a$ в степени нуль равно единице».

Теперь $a^m$ определено для любого $a \ne 0$ и любого целого $m$ — положительного, отрицательного или нуля. Это степень с целым показателем.

Выражения $0^0$ и $0^{-m}$ смысла не имеют (делить на нуль нельзя), а $0^m = 0$ при натуральном $m$.

1. а) $10^{-3} = \dfrac{1}{1000} = 0{,}001$; $\ 2^{-4} = \dfrac{1}{16}$; $\ (-3)^{-3} = \dfrac{1}{(-3)^3} = -\dfrac{1}{27}$; $\ (-1)^{-5} = \dfrac{1}{-1} = -1$.
2. Знак: отрицательное основание в нечётной степени даёт отрицательное число — показатель $-3$ тоже нечётный.
3. б) $5^{-1} + 4^{-1} = \dfrac15 + \dfrac14 = \dfrac{9}{20}$, а $(5 + 4)^{-1} = \dfrac19$ — это разные числа.
4. в) $\left(\dfrac23\right)^{-2} = \dfrac{1}{\left(\frac23\right)^2} = \dfrac94$: отрицательный показатель «переворачивает» дробь.

• Здесь $a \ne 0$, $b \ne 0$, $m$ и $n$ — любые целые числа.
• При умножении степеней одного числа показатели складывают, при делении — вычитают (из показателя числителя — показатель знаменателя).
• При возведении степени в степень показатели перемножают; степень произведения (частного) — произведение (частное) степеней.
• Проверка на примерах: $a^{-3}a^5 = \dfrac{a^5}{a^3} = a^2 = a^{-3 + 5}$; $\ (a^{-2})^3 = \dfrac{1}{a^6} = a^{-6}$; $\ (a^{-3})^0 = 1 = a^{0}$.

1. а) $-3 + 7 - 2 = 2$: $\ a^2$.
2. б) $8 - 12 = -4$: $\ a^{-4}$.
3. в) $(a^{-2})^3 = a^{-6}$; $\ -6 - (-4) = -2$: $\ a^{-2}$.
4. г) $-2 + 5 - 4 = -1$: $\ 3^{-1} = \dfrac13$.

1. $(4^3)^4 = 4^{12}$ — показатели перемножаем.
2. $4^{-10} \cdot 4^{12} = 4^{-10 + 12} = 4^2 = 16$.

1. $\dfrac{1}{2^{-11}} = 2^{11}$, $\ \dfrac{1}{2^7} = 2^{-7}$.
2. $2^{11} \cdot 2^{-7} = 2^4 = 16$.

1. $(c^{-6})^{-2} = c^{(-6) \cdot (-2)} = c^{12}$.
2. $\dfrac{c^{12}}{c^{-3}} = c^{12 - (-3)} = c^{15}$ — вычитаем отрицательный показатель.

• $a^0 = 1$, $\ a^{-m} = \dfrac{1}{a^m}$ при $a \ne 0$; $0^0$ и $0^{-m}$ смысла не имеют.
• Свойства степеней верны для любых целых показателей: складываем, вычитаем, перемножаем.
• $\left(\dfrac ab\right)^{-n} = \left(\dfrac ba\right)^n$.
• $a^{-1} + b^{-1} \ne (a + b)^{-1}$.