Выражения · 7 класс · урок 3 из 3 · Никольский, «Алгебра 7», § 8, п. 8.4

Преобразование рациональных выражений

Выход к заданиям: ОГЭ №8, ЕГЭ №8

Сначала нужно знать
Свойства степени с целым показателем, алгебраические дроби
Зачем этот урок
ОГЭ, задание 20: дроби со степенями (в том числе с показателем n)
Дальше
Квадратные корни (8 класс)
Степень с целым показателем · урок 3
Отрицательные степени в выражениях
Краткая запись дробей и упрощение
Краткая запись дробей

Дроби удобно записывать через степени с отрицательным показателем: 1a=a−1\dfrac1a = a^{-1},  1a2=a−2\ \dfrac{1}{a^2} = a^{-2}.

Такая запись часто показывает знакомую формулу: 1a2−2ab+1b2=a−2−2a−1b−1+b−2=(a−1−b−1)2\dfrac{1}{a^2} - \dfrac{2}{ab} + \dfrac{1}{b^2} = a^{-2} - 2a^{-1}b^{-1} + b^{-2} = (a^{-1} - b^{-1})^2 — квадрат разности.

1(a−b)2=(a−b)−2,112+13=(2−1+3−1)−1\frac{1}{(a - b)^2} = (a - b)^{-2}, \qquad \frac{1}{\frac12 + \frac13} = \left(2^{-1} + 3^{-1}\right)^{-1}
Никольский, п. 8.4Пример 1
а) Докажите: (a−1−b−1)(a−1+b−1)=a−2−b−2(a^{-1} - b^{-1})(a^{-1} + b^{-1}) = a^{-2} - b^{-2}. б) Упростите 1a2−2ab+1b21a2−1b2\dfrac{\dfrac{1}{a^2} - \dfrac{2}{ab} + \dfrac{1}{b^2}}{\dfrac{1}{a^2} - \dfrac{1}{b^2}}.
  1. а) Разность квадратов выражений a−1a^{-1} и b−1b^{-1}: (a−1)2−(b−1)2=a−2−b−2(a^{-1})^2 - (b^{-1})^2 = a^{-2} - b^{-2}.
  2. б) Числитель — (a−1−b−1)2(a^{-1} - b^{-1})^2, знаменатель — (a−1−b−1)(a−1+b−1)(a^{-1} - b^{-1})(a^{-1} + b^{-1}). Сокращаем: a−1−b−1a−1+b−1\dfrac{a^{-1} - b^{-1}}{a^{-1} + b^{-1}}.
  3. Умножим числитель и знаменатель на abab: b−ab+a\dfrac{b - a}{b + a}.
Ответ: б) b−ab+a\dfrac{b - a}{b + a}
Никольский, п. 8.4Пример 2
Вычислите (999−1−1000−1)(999−1+1000−1)(1000−1−999−1)2\dfrac{(999^{-1} - 1000^{-1})(999^{-1} + 1000^{-1})}{(1000^{-1} - 999^{-1})^2}.
  1. Обозначим m=999−1m = 999^{-1}, n=1000−1n = 1000^{-1}:  (m−n)(m+n)(n−m)2=(m−n)(m+n)(m−n)2=m+nm−n\ \dfrac{(m - n)(m + n)}{(n - m)^2} = \dfrac{(m - n)(m + n)}{(m - n)^2} = \dfrac{m + n}{m - n}.
  2. 1999+110001999−11000=1999999⋅10001999⋅1000=1999\dfrac{\frac{1}{999} + \frac{1}{1000}}{\frac{1}{999} - \frac{1}{1000}} = \dfrac{\frac{1999}{999 \cdot 1000}}{\frac{1}{999 \cdot 1000}} = 1999.
  3. Сначала упростили буквенное выражение — громоздких дробей удалось избежать.
Ответ: 1999
Никольский, п. 8.4Пример 3
а) Найдите (a−24−a−2)−2−(a−24+a−2)−2\left(\dfrac{a^{-2}}{4 - a^{-2}}\right)^{-2} - \left(\dfrac{a^{-2}}{4 + a^{-2}}\right)^{-2} при a=(12)−2a = \left(\dfrac12\right)^{-2}. б) Найдите x−2+3y−25x−2+2y−2\dfrac{x^{-2} + 3y^{-2}}{5x^{-2} + 2y^{-2}}, если xy=2−1\dfrac xy = 2^{-1}.
  1. а) a−2=(12)4=116a^{-2} = \left(\dfrac12\right)^{4} = \dfrac{1}{16}. Тогда a−24−a−2=14⋅16−1=163\dfrac{a^{-2}}{4 - a^{-2}} = \dfrac{1}{4 \cdot 16 - 1} = \dfrac{1}{63},  a−24+a−2=165\ \dfrac{a^{-2}}{4 + a^{-2}} = \dfrac{1}{65}.
  2. 632−652=(63−65)(63+65)=−25663^2 - 65^2 = (63 - 65)(63 + 65) = -256.
  3. б) Разделим числитель и знаменатель на y−2y^{-2}: (x/y)−2+35(x/y)−2+2=22+35⋅22+2=722\dfrac{(x/y)^{-2} + 3}{5(x/y)^{-2} + 2} = \dfrac{2^2 + 3}{5 \cdot 2^2 + 2} = \dfrac{7}{22}.
Ответ: а) −256-256; б) 722\dfrac{7}{22}
ОГЭ, задание 20Пример 4
Сократите дробь (3x)2⋅x−8x−12⋅4x6\dfrac{(3x)^2 \cdot x^{-8}}{x^{-12} \cdot 4x^6}.
  1. Числитель: 9x2⋅x−8=9x−69x^2 \cdot x^{-8} = 9x^{-6}. Знаменатель: 4x−12+6=4x−64x^{-12 + 6} = 4x^{-6}.
  2. 9x−64x−6=94=2,25\dfrac{9x^{-6}}{4x^{-6}} = \dfrac94 = 2{,}25.
Ответ: 2,25
ОГЭ, задание 20Пример 5
Сократите дробь 18n+332n+5⋅2n−2\dfrac{18^{n + 3}}{3^{2n + 5} \cdot 2^{n - 2}}.
  1. Разложим основание: 18=2⋅3218 = 2 \cdot 3^2, поэтому 18n+3=2n+3⋅32n+618^{n + 3} = 2^{n + 3} \cdot 3^{2n + 6}.
  2. 2n+3⋅32n+632n+5⋅2n−2=2(n+3)−(n−2)⋅3(2n+6)−(2n+5)=25⋅3\dfrac{2^{n + 3} \cdot 3^{2n + 6}}{3^{2n + 5} \cdot 2^{n - 2}} = 2^{(n + 3) - (n - 2)} \cdot 3^{(2n + 6) - (2n + 5)} = 2^5 \cdot 3.
  3. =96= 96 — буква nn исчезла.
Ответ: 96
ОГЭ, задание 20Пример 6
Упростите выражение 5n+1−5n−12⋅5n\dfrac{5^{n + 1} - 5^{n - 1}}{2 \cdot 5^n}.
  1. В числителе вынесем меньшую степень 5n−15^{n - 1}: 5n−1(52−1)=24⋅5n−15^{n - 1}(5^2 - 1) = 24 \cdot 5^{n - 1}.
  2. 24⋅5n−12⋅5n=12⋅5−1=125=2,4\dfrac{24 \cdot 5^{n - 1}}{2 \cdot 5^n} = 12 \cdot 5^{-1} = \dfrac{12}{5} = 2{,}4.
Ответ: 2,4
Главное
  • 1an=a−n\dfrac{1}{a^n} = a^{-n} — в краткой записи легче увидеть формулы сокращённого умножения.
  • Степени с показателем nn: раскладываем основания на простые множители и вычитаем показатели.
  • Из суммы степеней выносим меньшую степень: 5n+1−5n−1=5n−1(25−1)5^{n + 1} - 5^{n - 1} = 5^{n - 1}(25 - 1).
  • Неудобные числа (999−1999^{-1}, (12)−2\left(\frac12\right)^{-2}) — повод сначала упростить буквенное выражение.

Все уроки станции «Степень с целым показателем»

  1. Степень с целым показателем и её свойства
  2. Стандартный вид числа
  3. Преобразование рациональных выражений