Выражения · 7 класс · урок 2 из 3 · Никольский, «Алгебра 7», § 8, п. 8.3

Стандартный вид числа

Выход к заданиям: ОГЭ №8, ЕГЭ №8

Сначала нужно знать
Степень с целым показателем, значащие цифры и округление
Зачем этот урок
ОГЭ: числа в стандартном виде — вычисления, сравнение, перевод (задачи без номера и №8)
Дальше
Преобразование рациональных выражений
Степень с целым показателем · урок 2
Стандартный вид числа
A = a · 10ᵏ, где 1 ≤ a < 10
Определение

Всякое положительное число AA можно записать в таком виде — это запись в стандартном виде. Число 10k10^k называют порядком числа AA.

273,095=2,73095⋅102273{,}095 = 2{,}73095 \cdot 10^2;  6781=6,781⋅103\ 6781 = 6{,}781 \cdot 10^3;  3,1=3,1⋅100\ 3{,}1 = 3{,}1 \cdot 10^0;  0,21=2,1⋅10−1\ 0{,}21 = 2{,}1 \cdot 10^{-1};  0,0234=2,34⋅10−2\ 0{,}0234 = 2{,}34 \cdot 10^{-2}.

Правило: перенести запятую так, чтобы она стояла сразу после первой значащей цифры, и умножить на 10k10^k, где kk — на сколько разрядов запятая сдвинулась (влево — k>0k > 0, вправо — k<0k < 0).

A=a⋅10k,1≤a<10,k — целоеA = a \cdot 10^k, \qquad 1 \le a < 10, \quad k \text{ — целое}
Стандартный вид и точность

Скорость света в вакууме приближённо равна 299 792 460299\,792\,460 м/с =2,99792460⋅108= 2{,}99792460 \cdot 10^8 м/с.

Множитель aa округляют с нужной точностью: до первой значащей цифры — 3⋅1083 \cdot 10^8, до второй — 3,0⋅1083{,}0 \cdot 10^8, до третьей — 3,00⋅1083{,}00 \cdot 10^8, до четвёртой — 2,998⋅1082{,}998 \cdot 10^8 м/с. Нули после запятой здесь значащие: они показывают точность.

В стандартном виде сразу видно, сколько значащих цифр у числа и каков его порядок.

Вычисления в стандартном виде

Отдельно действуем с первыми множителями, отдельно — с порядками (по свойствам степеней). Результат снова приводим к стандартному виду и округляем.

Пример учебника (a=42,38(3)a = 42{,}38(3), b=0,0001276b = 0{,}0001276, c=3 153 000c = 3\,153\,000, до третьей значащей цифры): a≈4,24⋅10a \approx 4{,}24 \cdot 10, b≈1,28⋅10−4b \approx 1{,}28 \cdot 10^{-4}, c≈3,15⋅106c \approx 3{,}15 \cdot 10^6.

ab≈5,4272⋅10−3≈5,43⋅10−3ab \approx 5{,}4272 \cdot 10^{-3} \approx 5{,}43 \cdot 10^{-3};  ac≈13,356⋅107≈1,34⋅108\ ac \approx 13{,}356 \cdot 10^7 \approx 1{,}34 \cdot 10^8;  ac≈1,346⋅10−5≈1,35⋅10−5\ \dfrac ac \approx 1{,}346 \cdot 10^{-5} \approx 1{,}35 \cdot 10^{-5}.

(a⋅10k)(b⋅10m)=(ab)⋅10k+m,a⋅10kb⋅10m=ab⋅10k−m(a \cdot 10^k)(b \cdot 10^m) = (ab) \cdot 10^{k + m}, \qquad \frac{a \cdot 10^k}{b \cdot 10^m} = \frac ab \cdot 10^{k - m}
Никольский, № 603, 607Пример 1
а) Запишите в стандартном виде: 27,427{,}4;  0,0011\ 0{,}0011;  290 000\ 290\,000;  0,00987\ 0{,}00987. б) Вычислите: (1,2⋅103)⋅(5⋅10−5)(1{,}2 \cdot 10^3) \cdot (5 \cdot 10^{-5});  (3,6⋅104):(9⋅10−2)\ (3{,}6 \cdot 10^4) : (9 \cdot 10^{-2}).
  1. а) 2,74⋅102{,}74 \cdot 10;  1,1⋅10−3\ 1{,}1 \cdot 10^{-3};  2,9⋅105\ 2{,}9 \cdot 10^5;  9,87⋅10−3\ 9{,}87 \cdot 10^{-3}.
  2. б) 1,2⋅5=61{,}2 \cdot 5 = 6,  103⋅10−5=10−2\ 10^3 \cdot 10^{-5} = 10^{-2}:  6⋅10−2=0,06\ 6 \cdot 10^{-2} = 0{,}06.
  3. 3,6:9=0,43{,}6 : 9 = 0{,}4,  104:10−2=106\ 10^4 : 10^{-2} = 10^6:  0,4⋅106=4⋅105\ 0{,}4 \cdot 10^6 = 4 \cdot 10^5 — первый множитель меньше 11, сдвигаем запятую.
Ответ: 2,74⋅102{,}74 \cdot 10; 1,1⋅10−31{,}1 \cdot 10^{-3}; 2,9⋅1052{,}9 \cdot 10^5; 9,87⋅10−39{,}87 \cdot 10^{-3};  6⋅10−2\ 6 \cdot 10^{-2}; 4⋅1054 \cdot 10^5
ОГЭ, без номераПример 2
Найдите значение выражения (1,3⋅10−3)(2⋅10−2)(1{,}3 \cdot 10^{-3})(2 \cdot 10^{-2}).
  1. 1,3⋅2=2,61{,}3 \cdot 2 = 2{,}6;  10−3⋅10−2=10−5\ 10^{-3} \cdot 10^{-2} = 10^{-5}.
  2. 2,6⋅10−5=0,0000262{,}6 \cdot 10^{-5} = 0{,}000026 — запятую сдвигаем на 55 разрядов влево.
Ответ: 0,000026
ОГЭ, без номераПример 3
Площадь территории Испании составляет 506506 тыс. км². Как эта величина записывается в стандартном виде? 1) 5,06⋅1025{,}06 \cdot 10^2 2) 5,06⋅1035{,}06 \cdot 10^3 3) 5,06⋅1045{,}06 \cdot 10^4 4) 5,06⋅1055{,}06 \cdot 10^5
  1. 506506 тыс. =506⋅103= 506 \cdot 10^3.
  2. 506=5,06⋅102506 = 5{,}06 \cdot 10^2, поэтому 506⋅103=5,06⋅105506 \cdot 10^3 = 5{,}06 \cdot 10^5 км².
Ответ: 4
ОГЭ, без номераПример 4
Какое из чисел наибольшее? 1) 1,8⋅10−31{,}8 \cdot 10^{-3} 2) 4,7⋅10−44{,}7 \cdot 10^{-4} 3) 2,9⋅10−52{,}9 \cdot 10^{-5} 4) 9,5⋅10−39{,}5 \cdot 10^{-3}
  1. У чисел в стандартном виде сначала сравниваем порядки: больше то, у которого показатель степени 1010 больше. −3-3 больше, чем −4-4 и −5-5.
  2. При одинаковых порядках сравниваем первые множители: 9,5>1,89{,}5 > 1{,}8.
  3. Наибольшее — 9,5⋅10−39{,}5 \cdot 10^{-3}.
Ответ: 4
Никольский, № 610Пример 5
Скорость движения Земли вокруг Солнца 3⋅1043 \cdot 10^4 м/с. За какое время Земля пройдёт путь 1,8⋅10121{,}8 \cdot 10^{12} м?
  1. t=1,8⋅10123⋅104=0,6⋅108=6⋅107t = \dfrac{1{,}8 \cdot 10^{12}}{3 \cdot 10^4} = 0{,}6 \cdot 10^8 = 6 \cdot 10^7 с.
  2. В сутках 86 400≈8,64⋅10486\,400 \approx 8{,}64 \cdot 10^4 с:  6⋅1078,64⋅104≈694\ \dfrac{6 \cdot 10^7}{8{,}64 \cdot 10^4} \approx 694 суток — около года и десяти месяцев.
Ответ: 6⋅1076 \cdot 10^7 с
Главное
  • A=a⋅10kA = a \cdot 10^k, 1≤a<101 \le a < 10; 10k10^k — порядок числа.
  • Запятая — сразу после первой значащей цифры; сдвиг влево даёт k>0k > 0, вправо — k<0k < 0.
  • При умножении первые множители перемножают, показатели степеней складывают.
  • Сравнение: сначала порядки, потом первые множители.

Все уроки станции «Степень с целым показателем»

  1. Степень с целым показателем и её свойства
  2. Стандартный вид числа
  3. Преобразование рациональных выражений