Степень с рациональным показателем и её свойства

Например, $5^{\frac23} = \sqrt[3]{5^2}$, $3^{-\frac12} = \sqrt{3^{-1}}$, $7^{\frac15} = \sqrt[5]{7}$, $2^{\frac34} = \sqrt[4]{2^3}$.

Теорема. $a^{\frac pq} = \left(a^{\frac1q}\right)^p$; $\ a^{\frac{pk}{qk}} = a^{\frac pq}$; $\ a^{\frac{pq}{q}} = a^p$. Доказательство: $\sqrt[q]{a^p} = \left(\sqrt[q]{a}\right)^p$; $\sqrt[qk]{a^{pk}} = \sqrt[qk]{(a^p)^k} = \sqrt[q]{a^p}$; $\sqrt[q]{a^{pq}} = \sqrt[q]{(a^p)^q} = a^p$.

Значит, $a^r$ зависит только от числа $r$, а не от записи дроби: $a^{\frac23} = a^{\frac46}$. И новое определение не противоречит старому для целых показателей.

Примеры: $27^{\frac23} = \left(27^{\frac13}\right)^2 = 9$; $\ 6^{\frac68} = 6^{\frac34}$; $\ 2^{\frac{12}{3}} = 2^4$.

• Теорема 1. $a^r > 0$ для $a > 0$ и любого рационального $r$: $a^{\frac1q} = \sqrt[q]{a} > 0$, а $a^{\frac pq} = \left(a^{\frac1q}\right)^p$ — целая степень положительного числа.
• Умножение. $r_1 = \tfrac mn$, $r_2 = \tfrac kn$ (общий знаменатель): $a^{r_1}a^{r_2} = \sqrt[n]{a^m}\sqrt[n]{a^k} = \sqrt[n]{a^{m + k}} = a^{r_1 + r_2}$. Отсюда $a^r\cdot a^{-r} = a^0 = 1$, $a^{-r} = \dfrac{1}{a^r}$, и деление: $a^{r_1} : a^{r_2} = a^{r_1}\cdot a^{-r_2} = a^{r_1 - r_2}$.
• Степень степени. $r_1 = \tfrac mn$, $r_2 = \tfrac kl$: $\left(a^{r_1}\right)^{r_2} = \sqrt[l]{\left(\sqrt[n]{a^m}\right)^k} = \sqrt[nl]{a^{mk}} = a^{r_1r_2}$.
• Произведение. $r = \tfrac pq$: $(ab)^r = \sqrt[q]{a^pb^p} = \sqrt[q]{a^p}\sqrt[q]{b^p} = a^rb^r$. Пример: $(0{,}125)^{\frac13}\cdot 8^{\frac13} = 1^{\frac13} = 1$.

Доказательство. $r = \dfrac pq$. При $a > 1$ имеем $a^{\frac1q} = \sqrt[q]{a} > 1$ (корень из числа больше $1$ больше $1$).

Если $r > 0$, то $p > 0$, и $a^r = \left(a^{\frac1q}\right)^p > 1$ — натуральная степень числа, большего $1$.

Если $r < 0$, то $p = -|p|$ и $a^r = \dfrac{1}{\left(a^{\frac1q}\right)^{|p|}} < 1$; а $a^r > 0$ по теореме 1.

Теорема 5 ($a > 1$). $a^{r_2} - a^{r_1} = a^{r_1}\left(a^{r_2 - r_1} - 1\right) > 0$: $a^{r_1} > 0$ (теорема 1), а $a^{r_2 - r_1} > 1$, так как $r_2 - r_1 > 0$ (теорема 4).

Теорема 6 ($0 < a < 1$). Тогда $a^{-1} > 1$, и по теореме 5 $\left(a^{-1}\right)^{r_1} < \left(a^{-1}\right)^{r_2}$, т. е. $\dfrac{1}{a^{r_1}} < \dfrac{1}{a^{r_2}}$. Умножив на $a^{r_1}a^{r_2} > 0$, получим $a^{r_2} < a^{r_1}$.

Пример: $2^{\frac13} < 2^{\frac12}$ ($2 > 1$, $\tfrac13 < \tfrac12$); $\left(\tfrac12\right)^{\frac13} > \left(\tfrac12\right)^{\frac12}$ ($0 < \tfrac12 < 1$).

• Одинаковые основания — сравниваем показатели с учётом основания: $0{,}3^{0{,}5} < 0{,}3^{0{,}4}$.
• Одинаковые показатели $r > 0$ — больше та степень, у которой больше основание: $3^{\frac12} > 2^{\frac12}$, потому что $\left(\tfrac32\right)^{\frac12} > 1$.

1. а) $x^{0{,}5 + 0{,}25} = x^{0{,}75}$.
2. б) $125^{1{,}5} = 5^{4{,}5}$, $25^{-\frac34} = 5^{-1{,}5}$; произведение $5^3 = 125$.
3. в) $16^{\frac{1}{16}} = 2^{\frac14}$; $2^{1{,}25 + 0{,}25} = 2^{1{,}5} = 2\sqrt2$.
4. г) $a^{\frac13} : a^{-\frac16} = a^{\frac13 + \frac16} = a^{\frac12} = \sqrt a$.

1. $9^{-\frac14} = 3^{-\frac12}$, $\sqrt[4]{9^{-1}} = 3^{-\frac12}$; $2\sqrt2 = 2^{\frac32}$, $(2\sqrt2)^{-\frac23} = 2^{-1} = \dfrac12$.
2. Разность квадратов: $\left(3^{-\frac12} + \tfrac12\right)\left(3^{-\frac12} - \tfrac12\right) = 3^{-1} - \tfrac14 = \tfrac13 - \tfrac14$.

1. Обозначим $t = a^{0{,}5} > 0$: $a = t^2$, $a^{1{,}5} = t^3$, $t^3 - 8 = (t - 2)(t^2 + 2t + 4)$.
2. Скобка: $\dfrac{4 - (t - 2)^2}{(t - 2)(t^2 + 2t + 4)} = \dfrac{t(4 - t)}{(t - 2)(t^2 + 2t + 4)}$.
3. $\dfrac{t^4 - 8t}{t^2 - 16} = \dfrac{t(t - 2)(t^2 + 2t + 4)}{(t - 4)(t + 4)}$; произведение равно $\dfrac{t^2(4 - t)}{(t - 4)(t + 4)} = -\dfrac{t^2}{t + 4}$.
4. $-\dfrac{t^2}{t + 4} - \dfrac{4t}{t + 4} = -\dfrac{t(t + 4)}{t + 4} = -t$.

1. $25^{0{,}32} = \left(5^2\right)^{0{,}32} = 5^{0{,}64}$.
2. $5^{0{,}36 + 0{,}64} = 5^1 = 5$.

1. $6^{4{,}5} = 2^{4{,}5}\cdot 3^{4{,}5}$ (степень произведения).
2. $2^{3{,}5 - 4{,}5}\cdot 3^{5{,}5 - 4{,}5} = 2^{-1}\cdot 3 = 1{,}5$.

1. Раскладываем основания: $0{,}8 = \dfrac45 = 2^2\cdot 5^{-1}$, $20 = 2^2\cdot 5$.
2. Степень двойки: $\tfrac27 + \tfrac{12}{7} = 2$; степень пятёрки: $-\tfrac17 + \tfrac27 + \tfrac67 = 1$.
3. $2^2\cdot 5 = 20$.

1. $a^{3{,}33 - 2{,}11 - 2{,}22} = a^{-1}$.
2. $\left(\dfrac27\right)^{-1} = \dfrac72 = 3{,}5$.

• $a^{\frac pq} = \sqrt[q]{a^p}$ ($a > 0$); значение не зависит от записи дроби.
• Показатели складываются при умножении, вычитаются при делении, перемножаются при возведении в степень.
• $a > 1$: большему показателю — бо́льшая степень; $0 < a < 1$ — наоборот.
• В №8 раскладываем основания на простые множители и собираем показатели.