Степень с иррациональным показателем

Возьмём десятичные приближения $\sqrt2$ с недостатком: $r_1 = 1$, $r_2 = 1{,}4$, $r_3 = 1{,}41$, … Для рациональных $r_k$ степень $3^{r_k}$ уже определена.

$r_k$ не убывают, поэтому $x_k = 3^{r_k}$ не убывает (теорема 5 о сравнении степеней) и ограничена сверху, например, числом $3^2$. По теореме о монотонной ограниченной последовательности она имеет предел. Его и называют $3^{\sqrt2}$: $3^{\sqrt2} = 4{,}7288\ldots$

• $a > 0$, $a \ne 1$, $\alpha$ — иррациональное число, $r_1 \le r_2 \le \ldots$ — рациональные приближения $\alpha$ с недостатком.
• Замечание. Можно взять любую последовательность рациональных $r_k \to \alpha$ — значение $a^\alpha$ получится одним и тем же. Отдельно $1^\alpha = 1$.
• Теперь определена любая действительная степень положительного числа. Ещё $0^\alpha = 0$ при $\alpha > 0$; записи $0^0$ и $0^{-\alpha}$ ($\alpha > 0$) смысла не имеют.
• Отрицательное основание в нецелой степени не рассматривают: $(-2)^{\sqrt2}$ не имеет смысла, а $-2^{\sqrt2} = -\left(2^{\sqrt2}\right)$ — имеет.

• 4) Если $a > 1$ и $\alpha < \beta$, то $a^\alpha < a^\beta$.
• 5) Если $0 < a < 1$ и $\alpha < \beta$, то $a^\alpha > a^\beta$.
• Свойства верны для $a > 0$, $a \ne 1$ и любых действительных $\alpha, \beta$; доказываются переходом к пределу от рациональных показателей. Для произведения тоже: $(ab)^\alpha = a^\alpha b^\alpha$.
• Пример. $2^{\sqrt3} < 4$: $2 > 1$ и $\sqrt3 < 2$, поэтому по свойству 4 $2^{\sqrt3} < 2^2 = 4$.

1. а) $1 < \sqrt2 < 1{,}5$, основание $2 > 1$: $2 = 2^1 < 2^{\sqrt2} < 2^{1{,}5} = 2\sqrt2 < 3$.
2. б) $2^{\sqrt3 + 2 - \sqrt3} = 2^2 = 4$. в) $9^\pi = 3^{2\pi}$, $3^{2\pi - (2\pi - 1)} = 3$.
3. г) $5^{\sqrt2\cdot\sqrt2} = 5^2 = 25$.

1. а) показатель положителен — $0^{\frac32} = 0$, смысл есть. б) показатель отрицателен — нет.
2. в) $\sqrt2 - \sqrt3 < 0$ — нет.
3. г) отрицательное основание в иррациональной степени — нет. д) это $-\left(2^{\sqrt2}\right)$ — смысл есть.

1. Основания равны — показатели складываем: $(\sqrt6 + 2) + (-1 - \sqrt6) = 1$.
2. $4^1 = 4$.

1. $9^{2 - \sqrt2} = 3^{4 - 2\sqrt2}$.
2. $3^{2\sqrt2 + 1 + 4 - 2\sqrt2} = 3^5 = 243$.

1. $\left(b^{\sqrt3}\right)^{2\sqrt3} = b^{2\cdot 3} = b^6$.
2. $\dfrac{b^6}{b^4} = b^2 = 25$.

1. $8^{\sqrt5}\cdot 3^{\sqrt5} = 24^{\sqrt5}$ — степень произведения.
2. $\dfrac{24^{\sqrt5}}{24^{\sqrt5 - 2}} = 24^2 = 576$.

1. $0{,}5 = 2^{-1}$: $0{,}5^{\sqrt{10} - 1} = 2^{1 - \sqrt{10}}$.
2. $2^{1 - \sqrt{10} - (-\sqrt{10})} = 2^1 = 2$.

• $a^\alpha$ для иррационального $\alpha$ — предел $a^{r_k}$ по рациональным $r_k \to \alpha$.
• Все свойства степеней сохраняются для действительных показателей ($a > 0$).
• $a > 1$: $\alpha < \beta \Rightarrow a^\alpha < a^\beta$; $0 < a < 1$ — знак меняется.
• В №8 иррациональные части показателей сокращаются — приводим к одному основанию.