Предел последовательности. Число e

Если каждому натуральному $n$ поставлено в соответствие число $x_n$, задана числовая последовательность $(x_n)$; говорят также «переменная $x_n$».

Примеры: $x_n = \dfrac1n$, $y_n = -\dfrac1n$, $z_n = \dfrac{(-1)^n}{n}$, $u_n = q^n$ ($0 < q < 1$), $v_n = 1 - \dfrac1n$, $w_n = (-1)^n$, $\beta_n = a$.

$x_n, y_n, z_n, u_n$ стремятся к нулю ($z_n$ — меняя знак), $v_n$ стремится к $1$, $\beta_n$ — постоянная, а $w_n$ ни к какому числу не стремится: значения $+1$ и $-1$ чередуются.

• Переменная $\alpha_n$ бесконечно малая, если для любого $\varepsilon > 0$ найдётся число $N$, что при всех $n > N$ выполнено $|\alpha_n| < \varepsilon$.
• Если $x_n = a + \alpha_n$, где $\alpha_n$ — бесконечно малая, то $x_n$ имеет предел $a$: $\lim\limits_{n \to +\infty} x_n = a$, или $x_n \to a$.
• Примеры: $\lim \dfrac1n = 0$; $\lim\left(1 - \dfrac1n\right) = 1$; $\lim a = a$; на рисунке $x_n = 1 + \dfrac{(-1)^n}{n} \to 1$; $\lim(-1)^n$ не существует.

$x_n$ бесконечно большая, если для любого $M > 0$ найдётся $N$, что при всех $n > N$ выполнено $|x_n| > M$. Пишут $\lim x_n = \infty$.

Если с некоторого номера $x_n > 0$, пишут $\lim x_n = +\infty$; если $x_n < 0$ — $\lim x_n = -\infty$.

Примеры: $n \to +\infty$, $-n \to -\infty$, $n^2 \to +\infty$; $(-1)^n n \to \infty$, но ни $+\infty$, ни $-\infty$ здесь написать нельзя.

Доказательство. $x_n = a + \alpha_n$, $y_n = b + \beta_n$: $x_n \pm y_n = a \pm b + (\alpha_n \pm \beta_n)$; $x_ny_n = ab + (a\beta_n + b\alpha_n + \alpha_n\beta_n)$; $\dfrac{x_n}{y_n} = \dfrac ab + \dfrac{b\alpha_n - a\beta_n}{(b + \beta_n)b}$. Выражения в скобках — бесконечно малые.

В частности, $\lim(cx_n) = c\lim x_n$. Ещё: если $x_n \to \infty$, то $\dfrac{1}{x_n} \to 0$; если $x_n \to 0$ ($x_n \ne 0$), то $\dfrac{1}{x_n} \to \infty$.

Случаи $\dfrac00$, $\dfrac\infty\infty$, $\infty - \infty$ заранее не решаются: $\dfrac{1/n^2}{1/n} \to 0$, а $\dfrac{(-1)^n/n}{1/n} = (-1)^n$ предела не имеет. Каждый раз нужен свой приём.

• $\dfrac{\infty}{\infty}$ — делим на старшую степень: $\lim\dfrac{n + 3}{n + 1} = \lim\dfrac{1 + \frac3n}{1 + \frac1n} = \dfrac11 = 1$.
• Многочлен — выносим старшую степень: $n^4 - 100n^3 - 2n^2 + 1 = n^4\left(1 - \dfrac{100}{n} - \dfrac{2}{n^2} + \dfrac{1}{n^4}\right) \to +\infty$: первый множитель $\to +\infty$, второй $\to 1$.
• $\infty - \infty$ с корнями — умножаем на «сопряжённое»: $\sqrt[3]{n + 2} - \sqrt[3]{n} = \dfrac{2}{\sqrt[3]{(n + 2)^2} + \sqrt[3]{(n + 2)n} + \sqrt[3]{n^2}} \to 0$ (разность кубов).

Сумма $n$ членов: $S_n = \dfrac{a - aq^n}{1 - q} = \dfrac{a}{1 - q} - \dfrac{a}{1 - q}q^n$. При $|q| < 1$ $q^n \to 0$, поэтому $S_n \to \dfrac{a}{1 - q}$ — это и есть сумма прогрессии.

Бесконечную сумму $a_0 + a_1 + a_2 + \ldots$ называют рядом, $S_n$ — частичной суммой. Если $S_n \to S$, ряд сходится к $S$, иначе расходится.

При $|q| > 1$ $S_n \to \infty$; при $q = 1$ $S_n = na \to \infty$; при $q = -1$ $S_n = a, 0, a, 0, \ldots$ — предела нет. Геометрический ряд сходится только при $|q| < 1$.

Теорема 1. Неубывающая переменная, ограниченная сверху числом $M$, имеет предел $a \le M$. Теорема 2. Невозрастающая, ограниченная снизу числом $m$, имеет предел $A \ge m$. (Без доказательства: точки $x_n$ сгущаются у некоторой точки.)

Пример: $q^n$ при $0 < q < 1$ убывает и $q^n > 0$ — предел существует (он равен $0$).

Число e. $v_n = \left(1 + \tfrac1n\right)^{n + 1}$: $v_n = \dfrac{n}{n + 1}\left(1 + \dfrac{1}{n(n + 2)}\right)^{n + 2}v_{n + 1} \ge \dfrac{n}{n + 1}\left(1 + \dfrac{n + 2}{n(n + 2)}\right)v_{n + 1} = v_{n + 1}$ (неравенство Бернулли $(1 + x)^k \ge 1 + kx$). $v_n$ не возрастает и $v_n > 0$ — предел есть.

$u_n = \left(1 + \tfrac1n\right)^n = \dfrac{v_n}{1 + \frac1n}$ имеет тот же предел: $e = \lim\limits_{n \to +\infty}\left(1 + \dfrac1n\right)^n = 2{,}718281828459045\ldots$

• Последовательность возрастает и ограничена сверху: к $e$ она подходит медленно.
• Смысл: банк платит $100\%$ годовых, а проценты начисляются $n$ раз в год по $\tfrac{100}{n}\%$. За год вклад вырастет в $\left(1 + \tfrac1n\right)^n$ раз — при частых начислениях почти в $e$ раз, но не больше.

1. Делим числитель и знаменатель на старшую степень знаменателя.
2. а) $\dfrac{1 + 12/n}{1 + 11/n} \to 1$; б) $\dfrac{3}{1 + 2/n} \to 3$; в) $\dfrac{1}{2 - 1/n^2} \to \dfrac12$.
3. г) $\dfrac{2/n^2 - 1/n}{3/n^2 - 1} \to \dfrac{0}{-1} = 0$; д) $\dfrac{n + 1/n}{1 - 1/n^2} \to +\infty$.

1. а) $\sqrt{n + 1} - \sqrt n = \dfrac{(n + 1) - n}{\sqrt{n + 1} + \sqrt n} = \dfrac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt n} \to 0$.
2. б) $\dfrac{(n^2 + 6n) - (n^2 - 6n)}{\sqrt{n^2 + 6n} + \sqrt{n^2 - 6n}} = \dfrac{12n}{n\left(\sqrt{1 + \frac6n} + \sqrt{1 - \frac6n}\right)} \to \dfrac{12}{2} = 6$.

1. а) $a = 1$, $q = -\tfrac12$: $S = \dfrac{1}{1 + \frac12} = \dfrac23$.
2. б) $q = 0{,}1$: $S = \dfrac{0{,}8}{0{,}9} = \dfrac89$. в) $q = 0{,}01$: $S = \dfrac{0{,}3}{0{,}99} = \dfrac{10}{33}$.
3. г) $q = 2$, $|q| > 1$ — ряд расходится.

1. а) $0{,}3 + 0{,}03 + \ldots = \dfrac{0{,}3}{1 - 0{,}1} = \dfrac13$.
2. б) $0{,}31 + 0{,}0031 + \ldots = \dfrac{0{,}31}{0{,}99} = \dfrac{31}{99}$.
3. в) $2{,}3 + (0{,}054 + 0{,}00054 + \ldots) = \dfrac{23}{10} + \dfrac{0{,}054}{0{,}99} = \dfrac{23}{10} + \dfrac{3}{55} = \dfrac{259}{110}$.

1. Рост на $p\%$ — умножение на $1 + \frac{p}{100}$. Вклад «А» за три года: в $1{,}1^3 = 1{,}331$ раза.
2. Вклад «Б»: в $1{,}11^2\left(1 + \frac{n}{100}\right) = 1{,}2321\left(1 + \frac{n}{100}\right)$ раза.
3. $1{,}2321\left(1 + \frac{n}{100}\right) > 1{,}331 \iff n > 100\left(\frac{1{,}331}{1{,}2321} - 1\right) \approx 8{,}03$; наименьшее целое $n = 9$.

• $\lim x_n = a$ ⇔ $x_n = a + \alpha_n$, $\alpha_n$ — бесконечно малая.
• Пределы суммы, произведения, частного — по свойствам; $\tfrac\infty\infty$ и $\infty - \infty$ раскрываем делением на старшую степень или сопряжённым.
• $a + aq + aq^2 + \ldots = \dfrac{a}{1 - q}$ при $|q| < 1$.
• Монотонная ограниченная последовательность имеет предел; $e = \lim\left(1 + \frac1n\right)^n \approx 2{,}718$.