Понятие и свойства вероятности

Результат (исход) опыта или наблюдения называют событием. Если в опыте событие может произойти или не произойти, его называют случайным. Теория вероятностей — раздел математики, изучающий случайные события.

Все события рассматриваем в одном вполне определённом опыте. Пример 1 (с. 333): бросаем идеальную монету. События $A$ — «герб» и $B$ — «решка»: нет оснований считать одно предпочтительнее другого, обязательно происходит одно и только одно. Поэтому $P(A) = P(B) = \dfrac12$.

• Единственно возможные $A_1, \ldots, A_n$ — в опыте обязательно происходит одно и только одно из них.
• Равновозможные — нет никаких оснований считать, что одно из них может произойти предпочтительнее любого другого.
• Достоверное $\Omega$ — обязательно произойдёт; невозможное $\varnothing$ — не может произойти.
• $A$ и $B$ несовместны, если не могут произойти одновременно. Единственно возможные события попарно несовместны.
• Кубик: $A_1, \ldots, A_6$ («выпало $i$ очков») единственно возможны и равновозможны; $A_1, A_3, A_5$ и $B$ — «чётное» — единственно возможны, но не равновозможны; «выпало $7$» — невозможное.

Единственно возможные и равновозможные события опыта называют случаями. Пусть их $n$, и событие $A$ происходит тогда, когда наступает один из $m$ выделенных случаев — они благоприятствуют $A$.

Вероятность события $A$ — отношение числа $m$ случаев, благоприятствующих $A$, к общему числу $n$ случаев. Буква $P$ — от лат. probabilitas.

Пример 3 (с. 335). Ученик называет натуральное число не больше $30$. Число, делящееся на $3$, — $10$ случаев из $30$, $P = \dfrac13$; не делящееся — $20$ из $30$, $P = \dfrac23$.

• Сумма (объединение) $A \cup B$ — происходит хотя бы одно из событий $A$ и $B$. Для несовместных событий пишут $A + B$.
• Произведение (пересечение) $A \cap B$, или $AB$, — происходят оба события.
• Разность $A \setminus B$ — происходит $A$, но не происходит $B$.
• Кубик: $A = \{1, 2\}$, $B = \{2, 3\}$. Тогда $A \cup B = \{1, 2, 3\}$, $AB = \{2\}$, $A \setminus B = \{1\}$. Если $C$ — «больше 4» и $D$ — «чётное», $E$ — «кратно 3», то $D \cup E \cup C = \{2, 3, 4, 5, 6\}$, $DEC = \{6\}$.

• 1. $0 \le P(A) \le 1$: дробь $\dfrac mn$ при $0 \le m \le n$ неотрицательна и не больше $1$; $P(\varnothing) = 0$.
• 2. $P(\Omega) = 1$: достоверному событию благоприятствуют все $n$ случаев.
• 3. Если $A$ и $B$ несовместны, $P(A + B) = P(A) + P(B)$. Доказательство: случаи, благоприятствующие $A$ ($m_1$ штук), отличны от случаев для $B$ ($m_2$ штук), поэтому $A + B$ благоприятствуют $m_1 + m_2$ случаев: $\dfrac{m_1 + m_2}{n} = \dfrac{m_1}{n} + \dfrac{m_2}{n}$.
• По индукции: для попарно несовместных $P(A_1 + \ldots + A_k) = P(A_1) + \ldots + P(A_k)$.
• Противоположное событие $\bar A$ («$A$ не произошло»): $A + \bar A = \Omega$, поэтому $P(A) + P(\bar A) = 1$.

Доказательство. $A$ и $B \setminus AB$ несовместны, и $A \cup B = A + (B \setminus AB)$, поэтому $P(A \cup B) = P(A) + P(B \setminus AB)$.

$B \setminus AB$ и $AB$ несовместны, и $B = (B \setminus AB) + AB$, поэтому $P(B) = P(B \setminus AB) + P(AB)$.

Выразим $P(B \setminus AB)$ из второго равенства и подставим в первое — получим формулу. Для кубика: $P(\{1, 2\} \cup \{2, 3\}) = \dfrac26 + \dfrac26 - \dfrac16 = \dfrac12$.

1. $A$ — «козырная карта» ($9$ карт одной масти): $P(A) = \dfrac{9}{36} = \dfrac14$. $\ B$ — «туз»: $P(B) = \dfrac{4}{36} = \dfrac19$.
2. $AB$ — «козырной туз»: $P(AB) = \dfrac{1}{36}$. События совместны — нужна общая формула.
3. $P(A \cup B) = \dfrac{9}{36} + \dfrac{4}{36} - \dfrac{1}{36} = \dfrac{12}{36} = \dfrac13$.

1. Случаи — упорядоченные тройки очков: $6^3 = 216$ равновозможных исходов. Тройки $(1;\ 2;\ 6)$ и $(2;\ 1;\ 6)$ — разные случаи.
2. Сумма $9$: наборы $\{1, 2, 6\}$, $\{1, 3, 5\}$, $\{2, 3, 4\}$ — по $6$ перестановок; $\{1, 4, 4\}$, $\{2, 2, 5\}$ — по $3$; $\{3, 3, 3\}$ — $1$. Всего $18 + 6 + 1 = 25$.
3. Сумма $10$: $\{1, 3, 6\}$, $\{1, 4, 5\}$, $\{2, 3, 5\}$ — по $6$; $\{2, 2, 6\}$, $\{2, 4, 4\}$, $\{3, 3, 4\}$ — по $3$. Всего $18 + 9 = 27$.
4. $P(9) = \dfrac{25}{216} < P(10) = \dfrac{27}{216}$. Неупорядоченных наборов у обеих сумм по шесть — ловушка в том, чтобы считать наборы, а не случаи.

1. Пусть доля лжецов $x$. «Да» отвечают: все, у кого выпал герб, — доля $0{,}5$, и лжецы, у которых выпала решка, — $0{,}5x$.
2. Эти события несовместны: $0{,}5 + 0{,}5x = 0{,}61$, откуда $x = 0{,}22$.
3. Так проводят опросы на «неудобные» темы: ответ конкретного человека ничего о нём не говорит, а доля вычисляется.

1. Случаи — соперник Ефимова: любой из остальных $75$ участников, все равновозможны.
2. Благоприятствуют $3$ случая — остальные россияне.
3. $P = \dfrac{3}{75} = 0{,}04$.

1. $A$ — «больше двух лет», $B$ — «больше года, но меньше двух». Они несовместны, и $A + B$ — «больше года».
2. $P(A) + P(B) = P(A + B)$: $\ 0{,}89 + P(B) = 0{,}97$.
3. $P(B) = 0{,}08$.

1. $A$ — «кофе закончился в первом», $B$ — «во втором». $P(A) = P(B) = 0{,}3$, $P(AB) = 0{,}12$. Независимость не дана: $0{,}3 \cdot 0{,}3 = 0{,}09 \ne 0{,}12$.
2. Хотя бы в одном закончился: $P(A \cup B) = 0{,}3 + 0{,}3 - 0{,}12 = 0{,}48$.
3. Кофе остался в обоих — противоположное событие: $1 - 0{,}48 = 0{,}52$.

• Случаи — единственно возможные и равновозможные события; $P(A) = \dfrac mn$.
• $0 \le P(A) \le 1$, $\ P(\Omega) = 1$, $\ P(\varnothing) = 0$, $\ P(\bar A) = 1 - P(A)$.
• Несовместные: $P(A + B) = P(A) + P(B)$; любые: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$.
• Считаем случаи, а не наборы: $(1;\ 2;\ 6)$ и $(2;\ 1;\ 6)$ — разные.
• «Больше года, но меньше двух» = «больше года» минус «больше двух».