Условная вероятность. Независимые события

Пример 1 (с. 344). Бросили кубик, и стало известно, что произошло $A$ — выпало не меньше пяти очков. Какова при этом вероятность события $B$ — «выпало $6$»?

Без дополнительной информации $P(B) = \dfrac16$. Но теперь возможны лишь $2$ случая — $5$ и $6$, и $B$ благоприятствует один: вероятность $\dfrac12$.

Это условная вероятность события $B$ при условии, что произошло $A$. Обозначение: $P_A(B)$ (встречается и $P(B \mid A)$).

Пусть из $n$ случаев событию $A$ благоприятствуют $m_A$, а событию $AB$ — $m_{AB}$ (они все — среди случаев для $A$).

Условной вероятностью события $B$ при условии $A$ называют отношение числа случаев, благоприятствующих $AB$, к числу случаев, благоприятствующих $A$.

Разделив числитель и знаменатель на $n$, получим отношение вероятностей. Если $P(A) = 0$, принято считать $P_A(B) = 0$.

1. $40$ равновозможных случаев. $A$ — «номер делится на $8$»: $8, 16, 24, 32, 40$ — $5$ случаев.
2. $B$ — «нужный номер» — один из этих пяти: $P_A(B) = \dfrac15$.
3. Без информации о делимости вероятность была бы $\dfrac{1}{40}$.

$P(AB) = \dfrac{m_{AB}}{n} = \dfrac{m_A}{n} \cdot \dfrac{m_{AB}}{m_A}$: первый множитель — $P(A)$, второй — $P_A(B)$. Так же $P(AB) = P(B)P_B(A)$.

Пример 3 (с. 346). Кубик: $A$ — «чётное», $B = \{4, 5, 6\}$, $C = \{3\}$. $AB = \{4, 6\}$, $P(AB) = \dfrac13$. $\ P_A(B) = \dfrac{1/3}{1/2} = \dfrac23$, $\ P_B(A) = \dfrac23$, $\ P_A(C) = P_B(C) = 0$ — события $AC$ и $BC$ невозможны.

Формула умножения — главный инструмент «цепочек»: вероятность того, что произойдут оба события, — вероятность первого, умноженная на вероятность второго при условии первого.

$P(A)$ называют безусловной вероятностью. Если $P_B(A) = P(A)$ — условная вероятность не зависит от того, произошло ли $B$, — то из формулы умножения $P(AB) = P(A)P(B)$.

События $A$ и $B$ называют независимыми, если $P(AB) = P(A)P(B)$.

Пример 4 (с. 346). Две монеты: $A$ — «герб на первой», $B$ — «герб на второй». Из $4$ случаев $P(A) = P(B) = \dfrac12$, $P(AB) = \dfrac14$ — независимы. На практике независимость обычно оговаривают в условии.

1. $P_C(A)$: шаров со звёздочкой $5$, из них белых $3$ — $\dfrac35$.
2. $P_A(C)$: белых $7$, со звёздочкой $3$ — $\dfrac37$. $\ P_B(C) = \dfrac28 = \dfrac14$.
3. $P(AC) = \dfrac{3}{15} = \dfrac15$, а $P(A)P(C) = \dfrac{7}{15} \cdot \dfrac{5}{15} = \dfrac{7}{45} \ne \dfrac15$ — зависимы: знание о звёздочке меняет шансы цвета.

1. а) $0{,}7 \cdot 0{,}8 = 0{,}56$. б) $0{,}7 \cdot 0{,}2 = 0{,}14$. в) $0{,}3 \cdot 0{,}8 = 0{,}24$. г) $0{,}3 \cdot 0{,}2 = 0{,}06$.
2. Если $A$ и $B$ независимы, независимы и $A$ и $\bar B$, $\bar A$ и $B$, $\bar A$ и $\bar B$ — поэтому промахи тоже перемножаем.
3. д) $1 - 0{,}06 = 0{,}94$; проверка: $0{,}56 + 0{,}14 + 0{,}24 = 0{,}94$ — сумма несовместных а), б), в).

1. Условие $A$ — «тройки нет»: на каждом броске $5$ вариантов, $m_A = 25$ случаев из $36$.
2. Сумма $8$ без троек: $(2;\ 6)$, $(4;\ 4)$, $(6;\ 2)$ — пары $(3;\ 5)$ и $(5;\ 3)$ исключены условием. $m_{AB} = 3$.
3. $P_A(B) = \dfrac{3}{25} = 0{,}12$.

1. В одной партии А. белыми, в другой — чёрными, результаты партий независимы.
2. $P = 0{,}52 \cdot 0{,}3 = 0{,}156$.

Сверх учебника, для ЕГЭ №5. Если опыт идёт в два этапа, рисуют дерево: на ветках — вероятности, на ветках второго уровня — условные вероятности.

Вероятность пути — произведение вероятностей на ветках (формула умножения). Вероятность события — сумма по всем путям, которые к нему ведут (пути несовместны).

Формула полной вероятности: если $H_1, \ldots, H_k$ единственно возможны, то $P(A) = P(H_1)P_{H_1}(A) + \ldots + P(H_k)P_{H_k}(A)$.

1. Первый этап: пристрелянный — $0{,}4$, нет — $0{,}6$. Второй: промах $1 - 0{,}9 = 0{,}1$ и $1 - 0{,}2 = 0{,}8$.
2. Пути к промаху (красные на дереве): $0{,}4 \cdot 0{,}1 = 0{,}04$ и $0{,}6 \cdot 0{,}8 = 0{,}48$.
3. $P = 0{,}04 + 0{,}48 = 0{,}52$.

1. Пусть $x$ — вероятность, что яйцо из первого хозяйства, тогда из второго — $1 - x$.
2. Полная вероятность высшей категории: $0{,}4x + 0{,}2(1 - x) = 0{,}35$.
3. $0{,}2x = 0{,}15$, $\ x = 0{,}75$.

1. Пусть доля больных $x$. Положительный тест — пути «болен и подтвердил» $0{,}86x$ и «здоров, но ложно положителен» $0{,}06(1 - x)$: $\ 0{,}86x + 0{,}06(1 - x) = 0{,}1$, $\ x = 0{,}05$.
2. Нужна условная вероятность: $P_{+}(\text{болен}) = \dfrac{P(\text{болен и }+)}{P(+)} = \dfrac{0{,}86 \cdot 0{,}05}{0{,}1} = 0{,}43$.
3. Меньше половины положительных — действительно больные: болезнь редкая, и ложные срабатывания среди многих здоровых сравнимы с верными.

1. От $3$ до $6$ июля — три смены дня. Каждый раз погода сохраняется с вероятностью $0{,}8$ и меняется с вероятностью $0{,}2$.
2. Отличная $6$ июля, если погода менялась нечётное число раз: один раз — $3$ пути по $0{,}2 \cdot 0{,}8^2 = 0{,}128$; три раза — $0{,}2^3 = 0{,}008$.
3. $P = 3 \cdot 0{,}128 + 0{,}008 = 0{,}392$.

• $P_A(B) = \dfrac{P(AB)}{P(A)}$ — считаем только случаи, где $A$ произошло.
• Формула умножения: $P(AB) = P(A) \cdot P_A(B)$.
• Независимые: $P(AB) = P(A)P(B)$; независимость обычно дана в условии.
• Дерево: по пути — умножаем, разные пути к событию — складываем (полная вероятность).
• «Известно, что…» — условная вероятность: делим на вероятность условия.